$A\cup B\cup C\cup D=U$
なので、
集合$U$のすべての要素が、$A$，$B$，$C$，$D$どれかの集合に含まれるようにする という方針で考える。
もちろん。ひとつの要素が複数の集合に含まれてもかまわない。

集合$U$のすべての要素は表Ｄのとおり。

このうちの最小の数である$2$に着目すると、
$2$が$A$，$B$，$C$，$D$どれかの集合に含まれるためには、$a$，$b$，$c$，$d$のどれかが$2$ でなければならない。

このとき、
$a$，$b$，$c$，$d$は集合$U$の要素なので、
$2$は$a$，$b$，$c$，$d$のうちで最小の数 問題文より、$a<b<c<d$ だから、
$a=2$
であることが分かる。

解答ト：２

よって、$A$は表Ｅのような集合だ。

これで、表Ｅの緑の部分は、集合$A$に含まれることで解決した。
次に、未解決の赤い部分を考える。

このうちの最小の数である$3$に着目すると、
$3$が$B$，$C$，$D$どれかの集合に含まれるためには、$b$，$c$，$d$のどれかが$3$ だから、$2$のときと同様の理由で
$b=3$
であることが分かる。

解答ナ：３

表Ｅに集合$B$を書き加えると、表Ｆができる。

ここまでで、表Ｆの緑の部分は、集合$A$または$B$に含まれることで解決した。
さらに、未解決の赤い部分を考える。

このうちの最小の数である$5$に着目して、これまでと同様に考えると、
$c=5$
であることが分かる。

解答ニ：５

表Ｆに集合$C$を書き加えると、表Ｇができる。

以上で、集合$U$の要素のうち 未解決なのは表Ｇの赤い部分の$7$だけになった。

よって、
$d=7$
である。

解答ヌ：７

突然だけど、ここで素数について考えてみる。

素数とは
$2$以上の自然数で、正の約数が２個（$1$とその数自身）しかないもの だった。

なので、$2$以上の自然数の倍数の集合を考えたとき、素数は自分自身の倍数の集合にしか含まれない。

よって、集合$U$に含まれる４つの素数について、
$2$は $2$の倍数の集合にしか含まれない。 $3$は $3$の倍数の集合にしか含まれない。 $5$は $5$の倍数の集合にしか含まれない。 $7$は $7$の倍数の集合にしか含まれない。

したがって、$A\cup B\cup C\cup D$に ４つの素数が含まれるとき、
$a$，$b$，$c$，$d$のどれかが$2$で、どれかが$3$で、どれかが$5$で、どれかが$7$ なんだけど、
$a<b<c<d$
だから
$a=2$，$b=3$，$c=5$，$d=7$式Ａ であることが分かる。

また、素数でも$1$でもない自然数を合成数というけど、合成数は その数より小さい$2$個以上の素数の積の形で表せる。
なので、
集合$U$に含まれるすべての合成数（素数以外の数）は、$U$に含まれる素数の倍数 である。

したがって、
式Ａのとき、集合$U$に含まれるすべての合成数は、集合$A$，$B$，$C$，$D$の少なくとも１つに含まれる ことが分かる。

以上より、式Ａのとき、集合$U$のすべての要素は$A\cup B\cup C\cup D$に含まれるから、
式Ａのとき $A\cup B\cup C\cup D=U$が成り立つ といえる。

解答ト：２, ナ：３, ニ：５, ヌ：７

集合の大小を使わずに解くと、次のようになる。

以上より、
$a=2\left\{\begin{array}{l}\Rightarrow \text{○}\\ \text{○}\Leftarrow \end{array}\right\}\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$
なので、
$a=2$であることは $\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$ であるための必要十分条件 である。

解答ネ：２

$a$，$b$，$c$の数の選び方は
${}_7{\mathrm{C}}_3$
通りあるけど、この中には、$a=2$であるものも、$b=6$であるものも含まれる。
これをベン図にすると図Ｌのようになる。

ネより、$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$の集合は$a=2$の集合と等しい。
よって、図Ｌにおいて、
$\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$の集合は赤い部分 $b=6$の集合は緑の部分 である。

この２つの集合は 復習の図Ｊの左図と同じ関係なので、
$b=6$であることは $\{2,6,8\}\subset A\cup B\cup C$ であるための必要条件でも十分条件でもない ことになる。

解答ノ：３