大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 解説
(1)
以下、問題文より$k \gt 0$，$k\neq 1$，真数条件より$x \gt 0$の場合を考える。
(i)
$y=\log_{3}x$に$x=27$を代入すると、
$$
\begin{align}
y&=\log_{3}27\\
&=3
\end{align}
$$
となる。
なので、$y=\log_{3}x$のグラフは、
$(27,3)$
を通る。
解答ア：３
$y=\log_{2}\dfrac{x}{5}$に$y=1$を代入すると、
$$
\begin{align}
\log_{2}\dfrac{x}{5}&=1\\
&=\log_{2}2
\end{align}
$$
より
$\dfrac{x}{5}=2$
$x=10$
となる。
したがって、$y=\log_{2}\dfrac{x}{5}$のグラフは、
$(10,1)$
を通る。
解答イ：１, ウ：０
(ii)
ここで、$y=\log_{a}x$のグラフの復習をしておこう。
復習
$y=\log_{a}x$のグラフは、次のような形だ。
![大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 復習図](_image/2B_1_1_01.svg)
復習より、$y=\log_{k}x$のグラフは、$k$の値にかかわらず
$(1,0)$
を通る。
解答エ：１, オ：０
(iii)
まず、$y=\log_{k}x$のグラフから。
(ii)で考えたように、$y=\log_{k}x$のグラフは必ず$(1,0)$を通る。
なので、選択肢の②～⑤は不適。
$y=1$のときを考えると、
$k=2$のとき、
$$
\begin{align}
\log_{2}x&=1\\
&=\log_{2} 2
\end{align}
$$
なので
$x=2$
$k=3$のとき、
$$
\begin{align}
\log_{3}x&=1\\
&=\log_{3} 3
\end{align}
$$
なので
$x=3$
$k=4$のとき、
$$
\begin{align}
\log_{4}x&=1\\
&=\log_{4} 4
\end{align}
$$
なので
$x=4$
となるから、$y=1$のとき、
$k=2$のときのグラフが一番左
$k=3$のときのグラフが真ん中
$k=4$のときのグラフが一番左
を通る。
これにあてはまるのは、選択肢の
⓪
のグラフである。
解答カ：０
次に、$y=\log_{2}kx$のグラフについて。
$y=\log_{2}kx$
を変形すると
$y=\log_{2}x+\log_{2}k$
とかける。
よって、$y=\log_{2}kx$は $k=2$のとき$\hspace{12px}y=\log_{2}x+\log_{2}2$式Ａ $k=3$のとき$\hspace{12px}y=\log_{2}x+\log_{2}3$式Ｂ $k=4$のとき$\hspace{12px}y=\log_{2}x+\log_{2}4$式Ｃ と表せる。
ここで
$\log_{2}2 \lt \log_{2}3 \lt \log_{2}4$
なので
$\begin{aligned}&\log_{2}x+\log_{2}2 \\&\hspace{60px}\lt \log_{2}x+\log_{2}3 \\&\hspace{140px} \lt \log_{2}x+\log_{2}4\end{aligned}$
だから、$0 \lt x$の範囲でつねに
式Ａ$ \lt $式Ｂ$ \lt $式Ｃ
であることが分かる。
よって、３つのグラフは、つねに
$k=2$のときのグラフが一番下
$k=3$のときのグラフが真ん中
$k=4$のときのグラフが一番上
にある。
これにあてはまるのは、選択肢の
⑤
のグラフである。
解答キ：５
別解１
別解１の解説の前に、グラフの平行移動の復習をしておく。
復習
$y=f(x)$について、
$x$を$x-p$に変えると、
$x$軸方向に$p$平行移動
![大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 復習図](_image/2B_1_1_02.svg)
$y$を$y-q$に変えると、
$y$軸方向に$q$平行移動
![大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 復習図](_image/2B_1_1_03.svg)
$y=\log_{2}kx$
を変形すると、
$y=\log_{2}k+\log_{2}x$
より
$y-\log_{2}k=\log_{2}x$
とかける。
なので、復習より
$y=\log_{2}kx$は、$y=\log_{2}x$のグラフを$y$軸方向に$\log_{2}k$平行移動したもの
であることが分かる。
ここで
$0 \lt \log_{2}2 \lt \log_{2}3 \lt \log_{2}4$
なので、$y=\log_{2}kx$のグラフは、$y=\log_{2}x$のグラフを
$k=2$のとき、上に平行移動
$k=3$のとき、上にもっと平行移動
$k=4$のとき、上にもっともっと平行移動
したものだ。
したがって、３つのグラフは、つねに
$k=2$のときのグラフが一番下
$k=3$のときのグラフが真ん中
$k=4$のときのグラフが一番上
にある。
これにあてはまるのは、選択肢の
⑤
のグラフである。
解答キ：５
別解２
別解２の解説の前に、グラフの拡大縮小の復習をしておく。
復習
$y=f(x)$について、
$x$を$\cfrac{x}{s}$に変えると、
$x$軸方向に$s$倍に拡大
![大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 復習図](_image/2B_1_1_04.svg)
$y$を$\cfrac{y}{t}$に変えると、
$y$軸方向に$t$倍に拡大
![大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 復習図](_image/2B_1_1_05.svg)
$x$を$sx$に変えると、
$x$軸方向に$\cfrac{1}{s}$に縮小
![大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 復習図](_image/2B_1_1_06.svg)
$y$を$ty$に変えると、
$y$軸方向に$\cfrac{1}{t}$に縮小
![大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 復習図](_image/2B_1_1_07.svg)
$y=\log_{2}kx$
は、$y=\log_{2}x$の$x$に$kx$を代入したものだから、復習より
$y=\log_{2}kx$は、$y=\log_{2}x$のグラフを、$y$軸を中心にして $x$軸方向に$\dfrac{1}{k}$に縮小したもの
であることが分かる。
なので、$y=\log_{2}kx$のグラフは$y=\log_{2}x$のグラフと比べて、$y$軸との距離が
$k=2$のとき、$\dfrac{1}{2}$
$k=3$のとき、$\dfrac{1}{3}$
$k=4$のとき、$\dfrac{1}{4}$
になっている。
したがって、３つのグラフは、つねに
$k=2$のときのグラフが一番右
$k=3$のときのグラフが真ん中
$k=4$のときのグラフが一番左
にある。
これにあてはまるのは、選択肢の
⑤
のグラフである。
解答キ：５
(2)
(i)
指数と対数の関係を復習しておくと、
復習
$0 \lt a$，$a\neq 1$，$0 \lt b$のとき、
$\log_{a}b=c \Leftrightarrow a^{c}=b$
だった。
復習より、$\log_{x}y=2$は
$y=x^{2}$
とかける。
なので、求める図形は
$y=x^{2}$のグラフの$x \gt 0$，$x\neq 1$，$y \gt 0$の部分
だ。
これにあてはまるのは、選択肢の
②
のグラフである。
解答ク：２
(ii)
不等式
$0 \lt \log_{x}y \lt 1$式Ｄ
は、中辺が対数で、右辺と左辺が対数じゃない。
この形だと比較しづらいから、右辺と左辺を対数にしよう。
$\left\{\begin{array}{l}
\log_{x}1=0\\
\log_{x}x=1
\end{array}\right.$
を式Ｄに代入すると、
$\log_{x}1 \lt \log_{x}y \lt \log_{x}x$式Ｄ'
となって、全部の辺が対数になった。
いま，$x\neq 1$なので、式Ｄ'は
$\left\{\begin{array}{ll}
1 \lt y \lt x & (1 \lt x)\class{tex_formula}{式Ｅ}\\
1 \gt y \gt x & (0 \lt x \lt 1)\class{tex_formula}{式Ｆ}
\end{array}\right.$
と変形できる。
式Ｅの表す範囲は、
$1 \lt x$のときなので、直線$x=1$より右
$1 \lt y$なので、直線$y=1$より上
$y \lt x$なので、直線$y=x$より下
$0 \lt x$，$0 \lt y$なので、第１象限
の共通部分だから、図Ａの緑の部分だ。（境界線をのぞく）
![大学入学共通テスト2024年本試 数学ⅡＢ 第１問 [1] 解説図Ａ](_image/2B_1_1_08.svg)
式Ｆの表す範囲は、
$x \lt 1$のときなので、直線$x=1$より左
$y \lt 1$なので、直線$y=1$より下
$x \lt y$なので、直線$y=x$より上
$0 \lt x$，$0 \lt y$なので、第１象限
の共通部分だから、図Ａのオレンジの部分だ。（境界線をのぞく）
以上より、求める領域にあてはまるのは、選択肢の
②
である。
解答ケ：２