$\cos x=0$式Ａ
となる$x$は、図Ａの赤またはオレンジの角。

$x$の定義域を$0\leqq x<2x$（図Ａの緑の範囲）とすると、この範囲に式Ａを満たす$x$は２つ存在し、

である。

加法定理の式
$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
より、

と表せる。

これを①式の左辺に代入すると、
$$\begin{array}{rl}& \cos 3x+\cos 2x+\cos x\\ & =(\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x)+\cos 2x\\ & +(\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x)\\ & =\cos 2x\cos x+\cos 2x+\cos 2x\cos x\\ & =(2\cos x+1)\cos 2x\mathrm{②}\end{array}$$ と変形できる。

解答オ：６

よって、①の方程式は
$(2\cos x+1)\cos 2x=0$
とかけるから、解は、
$2\cos x+1=0$ または $\cos 2x=0$
を満たす$x$だ。

以上より、①は式Ｃと式Ｅ'の合計６個の解をもつ。

解答カ：６

この６個の解を図にすると、図Ｄのようになる。

図Ｄより、

であることが分かる。

問題文の指示通り、(i)と同様に考える。
さっきと同じような作業をくり返すのは大変なので、(i)の結果をできるだけ使おう。

(i)での作業を振り返ると、
①式の解は、式Ｂまたは式Ｄを満たす$x$ だった。

式でいうと、、
方程式
$\cos 3x+\cos 2x+\cos x=0$①
つまり
$\cos (2x+x)+\cos 2x+\cos (2x-x)=0$
①’
の解は
$\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$式Ｂ
または
$\cos 2x=0$式Ｄ
を満たす$x$
だった。

③式を
$\cos (nx+x)+\cos nx+\cos (nx-x)=0$③'
として①'式と見比べると、
$2x$が$nx$ に変わっている。

このことから、方程式③の解は
$\cos x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$式Ｂ
または
$\cos nx=0$式Ｆ
を満たす$x$
だと考えられる。

式Ｂを満たす$x$は、(i)で求めた式Ｃの通り
$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$，${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi$式Ｃ
の２つ存在する。

式Ｆを満たす$x$は、(i)の式Ｄのときと同様に考えると
$nx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，${\displaystyle \frac{3}{2}}\pi$，${\displaystyle \frac{5}{2}}\pi$，${\displaystyle \frac{7}{2}}\pi ,\cdots$
より
$x={\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$，${\displaystyle \frac{3}{2n}}\pi$，${\displaystyle \frac{5}{2n}}\pi$，${\displaystyle \frac{7}{2n}}\pi ,\cdots$式Ｇ
となる。

以上より、方程式③の解は、式Ｃと式Ｇの
$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$，${\displaystyle \frac{4}{3}}\pi$，${\displaystyle \frac{\pi }{2n}}$，${\displaystyle \frac{3}{2n}}\pi$，${\displaystyle \frac{5}{2n}}\pi$，${\displaystyle \frac{7}{2n}}\pi ,\cdots$
式Ｈ
である。

ここでは、式Ｈの解のうち 小さい方から２つを問われている。

いま、$3\leqq n$なので、
${\displaystyle \frac{1}{n}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}$
だから
${\displaystyle \frac{\pi }{n}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
だ。

なので、式Ｇの小さい方から２つの解は
${\displaystyle \frac{\pi }{2n}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2\cdot 3}}$ ${\displaystyle \frac{3}{2n}}\pi \leqq {\displaystyle \frac{\cancel{3}}{2\cdot \cancel{3}}}\pi$ となって、ともに${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$以下だから、式Ｃの解よりも小さい。

したがって、式Ｈのうち、

であることが分かる。