$1<m$なので、
$$\begin{array}{rl}y& =f(x)\\ & =3(x-1)(x-m)\end{array}$$ のグラフは$x$軸と異なる２点
$(1,0)$，$(m,0)$
で交わる、下に凸の放物線だ。

したがって、$m=2$のとき、$y=f(x)$のグラフは図Ａのようになる。

図Ａの放物線の頂点の$x$座標は、$y=f(x)$と$x$軸との２つの交点のちょうど真ん中なので
${\displaystyle \frac{1+2}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$式Ａ
となる。

いまは、$f^{\prime }(x)=0$となる$x$の値を問われている。
$f^{\prime }(x)$は図Ａのグラフの接線の傾きだから、$f^{\prime }(x)=0$になるのは放物線の傾きが$0$になる点。
つまり、頂点の$x$座標を問われている。

よって、答えは、式Ａの
${\displaystyle \frac{3}{2}}$
である。

解答ア：３, イ：２

$S(x)$を計算すると、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(x)}& ={\int }_0^{x}f(t)dt\\ & ={\int }_0^{x}3(t-1)(t-2)dt\\ & ={\int }_0^x(3t^2-9t+6)dt\\ & ={[t^3-{\displaystyle \frac{9}{2}}{t}^2+6t]}_0^x\\ & =x^3-{\displaystyle \frac{9}{2}}{x}^2+6x\mathrm{式}Ｂ\end{array}$$ となる。

解答ウ：９, エ：６, オ：９, カ：２, キ：６

ここで、

復習

$a$を定数とすると
${\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)}$

だから、
$S^{\prime }(x)=f(x)$
だ。

図Ａより
$x<1$のとき、$0<f(x)$ $x=1$のとき、$f(x)=0$ $1<x<2$のとき、$f(x)<0$ $x=2$のとき、$f(x)=0$ $2<x$のとき、$0<f(x)$ なので、$S(x)$の増減表は表Ｂのようになる。

表Ｂより、

であることが分かる。

(ii)で考えたように
$S^{\prime }(x)=f(x)$
なので、
$f(3)=S^{\prime }(3)$
だ。

なので、$f(3)$は
$y=S(x)$の$x=3$における接線の傾き にあたる。

よって、解答群のうち正しいのは
③
である。

解答ス：３

$S_1$，$S_2$は、図Ｃのような状態だ。

なので、

となる。

また、$S_1=S_2$は、式Ｃ$=$式Ｄより
${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx=-{\int }_1^{m}f(x)dx}$
とかける。

これを変形して、$S_1=S_2$となるのは
${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{m}f(x)dx=0}$
より
${\displaystyle {\int }_0^{m}f(x)dx=0}$
のときである。

解答タ：１

次に、$y=S(x)$のグラフの形を考える。

$m=2$のときの$S(x)$の増減表が表Ｂだったので、$m$のままのときの増減表は表Ｄのようになる。

さらに、タより
$$\begin{array}{rl}S(m)& ={\int }_0^{m}f(x)dx\\ & =0\end{array}$$ だから極小値$S(m)$は$0$なので、グラフは$x=m$で$x$軸に上から接する。

以上にあてはまるグラフは、選択肢のうちの
①
である。

解答チ：１

また、$S_1>S_2$のときには、式Ｃ$>$式Ｄから
${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx>-{\int }_1^{m}f(x)dx}$
なので
${\displaystyle {\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{m}f(x)dx>0}$
より
${\displaystyle {\int }_0^{m}f(x)dx>0}$
だといえる。

よって、$y=S(x)$の極小値$S(m)$は
$S(m)>0$
だ。

したがって、このときの$y=S(x)$は
増減表が表Ｄ 極小値$S(m)$が正 のグラフになるので、選択肢のうちの
②
があてはまる。

解答ツ：２

$y=f(x)$のグラフは放物線で、放物線の軸は$x$軸との２つの交点の真ん中
${\displaystyle \frac{m+1}{2}}$
を通る。

したがって、$y=f(x)$のグラフは、直線
$x={\displaystyle \frac{m+1}{2}}$
に関して対称である。

解答テ：３

したがって、図Ｅの青い部分と赤い部分の面積は等しいから、
青い部分の面積${\displaystyle ={\int }_{1-p}^{1}f(x)dx}$ 赤い部分の面積${\displaystyle ={\int }_m^{m+p}f(x)dx}$ より
${\displaystyle {\int }_{1-p}^{1}f(x)dx={\int }_m^{m+p}f(x)dx}$①
が成り立つ。

解答ト：４

また、紫の部分と黄色い部分の面積も等しいので、${\displaystyle \frac{m+1}{2}}=M$とおくと、
紫の部分の面積${\displaystyle ={\int }_{M-q}^M\{-f(x)\}dx}$ 黄色い部分の面積${\displaystyle ={\int }_M^{M+q}\{-f(x)\}dx}$ より
${\displaystyle {\int }_{M-q}^M\{-f(x)\}dx={\int }_M^{M+q}\{-f(x)\}dx}$②
が成り立つ。

解答ナ：２

さらに
$$\begin{array}{rl}{\int }_{\alpha }^{\beta }f(x)dx& ={\int }_0^{\beta }f(x)dx-{\int }_0^{\alpha }f(x)dx\\ & =S(\beta )-S(\alpha )\end{array}$$ なので、

と変形できる。

ここで、２点
$(1-p,S(1-p))$，$(m+p,S(m+p))$
の中点を考える。

中点の座標は
$({\displaystyle \frac{(1-p)+(m+p)}{2}},{\displaystyle \frac{S(1-p)+S(m+p)}{2}})$
$=({\displaystyle \frac{m+1}{2}},{\displaystyle \frac{S(1-p)+S(m+p)}{2}})$
$=(M,{\displaystyle \frac{S(1-p)+S(m+p)}{2}})$式Ｅ
とかける。

この式の赤い部分は、①'式より
$S(1-p)+S(m+p)=S(1)+S(m)$式Ｆ
と変形できる。

さらに、図Ｆのように、$1$と$m$は$M$から等距離にある。
この距離を$q$とすると、②'式より
$$\begin{array}{rl}S(1)+S(m)& =S(M-q)+S(M+q)\\ & =2S(M)\end{array}$$ であることが分かる。

これを式Ｆに代入すると
$S(1-p)+S(m+p)=2S(M)$
なので、式Ｅの２点の中点は
$(M,{\displaystyle \frac{2S(M)}{2}})=(M,S(M))$
と表せる。
これは$y=S(x)$上の点だ。

また
$M={\displaystyle \frac{m+1}{2}}$
なので、式に含まれる文字は$m$だけだから、$M$は
$m$の値のみで決まる $p$の値には無関係 である。

したがって、
中点は$p$の値によらず一つに定まり、
関数$y=S(x)$のグラフ上にある ことになる。

解答ネ：２