大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試 数学ⅡＢ 第４問 解説
(1)
$(a_{n}\}$の漸化式を
$a_{n+1}=a_{n}+14$式Ａ
と変形すると、
$a_{1}=10$のとき、式Ａは
$a_{2}=10+14$
とかけるから、
$a_{2}=24$
解答ア：２, イ：４
$a_{2}=24$のとき、式Ａは
$a_{3}=24+14$
とかけるから、
$a_{3}=38$
解答ウ：３, エ：８
である。
ここで、漸化式の基本の形の復習をしておく。
復習
漸化式の基本の形は４つあって、
$p_{n+1}=p_{n}+d$
公差$d$の等差数列
$p_{n+1}=rp_{n}$
公比$r$の等比数列
$p_{n+1}=p_{n}+f(n)$
階差数列の一般項が$f(n)$
$p_{n+1}=\alpha p_{n}+\beta$
$p_{n+1}-\gamma=\alpha(p_{n}-\gamma)$の形にして解く
だった。
式Ａは、復習の漸化式の基本の形の１つめだ。
なので、$\{a_{n}\}$は
初項が$a_{1}$
公差が$14$
の等差数列である。
よって、$\{a_{n}\}$の一般項$a_{n}$は
$a_{n}=a_{1}+14(n-1)$
とかける。
解答オ：１, カ：４
(2)
$\{b_{n}\}$の漸化式を
$b_{n+1}=\dfrac{1}{2}b_{n}-\dfrac{3}{2}$式Ｂ
と変形すると、これは復習の漸化式の基本の形の４つめだ。
なので、パターン通りに解こう。
式Ｂを
$b=\dfrac{1}{2}b-\dfrac{3}{2}$
として$b$を求めると、
$b=-3$
だ。
この$b$を式Ｂの両辺から引いて変形すると、
$$
\begin{align}
b_{n+1}+3&=\dfrac{1}{2}b_{n}-\dfrac{3}{2}+3\\
&=\dfrac{1}{2}(b_{n}+3)\class{tex_formula}{式Ｂ'}
\end{align}
$$
となる。
ここで
$b_{n}+3=B_{n}$式Ｃ
とおくと、式Ｂ'は
$B_{n+1}=\dfrac{1}{2}B_{n}$式Ｂ''
と表せる。
これは漸化式の基本の形の２つめだ。
復習より 数列$\{B_{n}\}$は等比数列で、
式Ｃより、初項$B_{1}=b_{1}+3$
式Ｂ''より、公比が$\dfrac{1}{2}$
だから、一般項$B_{n}$は
$B_{n}=(b_{1}+3)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
とかける。
これに式Ｃを代入すると、求める$\{b_{n}\}$の一般項$b_{n}$は、
$b_{n}+3=(b_{1}+3)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
より
$b_{n}=(b_{1}+3)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-3$
であることが分かる。
解答キ：３, ク：１, ケ：２, コ：３
(3)
(i)
$c_{n}=5$のとき、問題文中の①式は
$(5+3)(2c_{n+1}-5+3)=0$
より
$2c_{n+1}-5+3=0$
$c_{n+1}=1$
だから、
$c_{n}=5$のとき$c_{n+1}=1$式Ｄ
である。
よって、
$c_{1}=5$のとき$c_{2}=1$
となる。
解答サ：１
$c_{n+1}=-3$のとき、①式は
$(c_{n}+3)\{2(-3)-c_{n}+3\}=0$
より
$(c_{n}+3)(-c_{n}-3)=0$
$(c_{n}+3)^{2}=0$
だから、
$c_{n+1}=-3$のとき$c_{n}=-3$式Ｅ
である。
よって、
$c_{3}=-3$のとき、$c_{2}=-3$
解答シ：－, ス：３
$c_{2}=-3$のとき、$c_{1}=-3$
解答セ：－, ソ：３
となる。
(ii)
$c_{3}=-3$，$c_{4}=5$のとき、
セソシスより、
$c_{1}=-3$，$c_{2}=-3$
式Ｄより、
$c_{5}=1$
解答タ：１
である。
$c_{3}=-3$，$c_{4}=83$のとき、
セソシスより、
$c_{1}=-3$，$c_{2}=-3$
$c_{4}=83$のとき、①式は
$(83+3)(2c_{5}-83+3)=0$
とかける。
これを解いて、
$c_{5}=40$
解答チ：４, ツ：０
である。
(iii)
次は、命題Ａの証明だ。
選択肢を一つずつ考えると、
すべての自然数$n$について$c_{n}\neq-3$であることを証明するから、一部の項しか考えてない
⓪，①，②
は不適。
④が示せても、$c_{1}\neq-3$のとき$c_{n}=-3$にはならないことの証明にはならない。
なので、不適。
てか、$c_{n}=-3$のときは$c_{n+1}$はどんな値でもいいから、④は成り立たない。
ことが分かる。
なので、正解は、残った
③
である。
解答テ：３
余談
問題を解くのに命題Ａの証明は必要ないけれど、せっかくだから載せておく。
仮定より
$c_{1}\neq-3$
である。
①式より
$(\textcolor{red}{c_{k}+3})(\textcolor{green}{2c_{k+1}-c_{k}+3})=0$
だけど、$n=k$のとき$c_{n}\neq-3$だと仮定すると、この式の赤い部分は$0$じゃない。
したがって、この式が成り立つためには、緑の部分が$0$、つまり
$2c_{k+1}-c_{k}+3=0$
でないといけない。
これを変形すると
$c_{k+1}=\dfrac{c_{k}-3}{2}$式Ｆ
とかける。
いま
$c_{k}\neq-3$
なので、
途中式
$c_{k}-3\neq-3-3$
$\dfrac{c_{k}-3}{2}\neq\dfrac{-3-3}{2}$
より
である。
これは式Ｆの右辺なので、式Ｆは
$c_{k+1}\neq-3$
となるから、
$n=k$のとき$c_{n}\neq-3$ならば、$n=k+1$のときも$c_{n}=-3$である
ことが分かる。
以上より、すべての自然数$n$について$c_{n}\neq-3$である。
(iv)
ここで、数列$\{c_{n}\}$の性質をまとめておく。
式Ｅで
$c_{n+1}=-3$であれば、$c_{n}=-3$
であることが分かっているから、
$\left\{\begin{array}{l}
c_{n+1}=-3\text{であれば、}c_{n}=-3\\
c_{n}=-3\text{であれば、}c_{n-1}=-3\\
c_{n-1}=-3\text{であれば、}c_{n-2}=-3\\
\hspace{100px} \vdots
\end{array}\right.$
より
$c_{n}=-3$であれば、$c_{1}=-3$式Ｇ
であるといえる。
$c_{n}=-3$のとき、①式の左辺は
$$
\begin{align}
(-3+3)&(2c_{n+1}+3+3)\\
&=0\times(2c_{n+1}+3+3)\\
&=0
\end{align}
$$
なので、$c_{n+1}$がどんな値でも①式は成り立つ。
つまり、
$c_{n}=-3$のとき、$c_{n+1}$はどんな値でもいい
式Ｈ
ことになる。
この二つの性質を使って、(I)，(II)，(III)の命題を考えよう。
式Ｇより
$c_{100}=-3$であれば、$c_{1}=-3$
だ。
よって、
(I)を満たす数列は存在しないから、(I)は偽
(II)を満たす数列は存在するので、(II)は真
である。
例えば$c_{99}=-3$である場合を考えると
式Ｈより、$c_{99}=-3$のとき$c_{100}$はどんな値でもいいから、$c_{100}=3$でもいい
式Ｇより、$c_{99}=-3$ならば$c_{1}=-3$である
となるので、(III)を満たす数列$\{c_{n}\}$ができる。
よって、(III)は真である。
以上より、解答群のうち正しいものは
④
であることが分かる。
解答ト：４