大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試 数学ⅡＢ 第４問 解説

(1)

(an}の漸化式を
an+1=an+14式Ａ
と変形すると、

a1=10のとき、式Ａは
a2=10+14
とかけるから、
a2=24

解答ア：２, イ：４

a2=24のとき、式Ａは
a3=24+14
とかけるから、
a3=38

解答ウ：３, エ：８

である。

ここで、漸化式の基本の形の復習をしておく。

復習

漸化式の基本の形は４つあって、
pn+1=pn+d
公差dの等差数列 pn+1=rpn
公比rの等比数列 pn+1=pn+f(n)
階差数列の一般項がf(n) pn+1=αpn+β
pn+1−γ=α(pn−γ)の形にして解く だった。

式Ａは、復習の漸化式の基本の形の１つめだ。
なので、{an}は
初項がa1 公差が14 の等差数列である。

よって、{an}の一般項anは
an=a1+14(n−1)
とかける。

解答オ：１, カ：４

(2)

{bn}の漸化式を
bn+1=12bn−32式Ｂ
と変形すると、これは復習の漸化式の基本の形の４つめだ。
なので、パターン通りに解こう。

式Ｂを
b=12b−32
としてbを求めると、
b=−3
だ。

このbを式Ｂの両辺から引いて変形すると、
bn+1+3=12bn−32+3=12(bn+3)式Ｂ′ となる。

ここで
bn+3=Bn式Ｃ
とおくと、式Ｂ'は
Bn+1=12Bn式Ｂ''
と表せる。
これは漸化式の基本の形の２つめだ。

復習より 数列{Bn}は等比数列で、
式Ｃより、初項B1=b1+3 式Ｂ''より、公比が12 だから、一般項Bnは
Bn=(b1+3)(12)n−1
とかける。

これに式Ｃを代入すると、求める{bn}の一般項bnは、
bn+3=(b1+3)(12)n−1
より
bn=(b1+3)(12)n−1−3
であることが分かる。

解答キ：３, ク：１, ケ：２, コ：３

(3)

(i)

cn=5のとき、問題文中の①式は
(5+3)(2cn+1−5+3)=0
より
2cn+1−5+3=0
cn+1=1
だから、
cn=5のときcn+1=1式Ｄ
である。

よって、
c1=5のときc2=1
となる。

解答サ：１

cn+1=−3のとき、①式は
(cn+3){2(−3)−cn+3}=0
より
(cn+3)(−cn−3)=0
(cn+3)2=0
だから、
cn+1=−3のときcn=−3式Ｅ
である。

よって、

c3=−3のとき、c2=−3

解答シ：－, ス：３

c2=−3のとき、c1=−3

解答セ：－, ソ：３

となる。

(ii)

c3=−3，c4=5のとき、

セソシスより、
c1=−3，c2=−3

式Ｄより、
c5=1

解答タ：１

である。

c3=−3，c4=83のとき、

セソシスより、
c1=−3，c2=−3

c4=83のとき、①式は
(83+3)(2c5−83+3)=0
とかける。

これを解いて、
c5=40

解答チ：４, ツ：０

である。

(iii)

次は、命題Ａの証明だ。

選択肢を一つずつ考えると、
すべての自然数nについてcn≠−3であることを証明するから、一部の項しか考えてない
⓪，①，②
は不適。

④が示せても、c1≠−3のときcn=−3にはならないことの証明にはならない。
なので、不適。
てか、cn=−3のときはcn+1はどんな値でもいいから、④は成り立たない。

ことが分かる。

なので、正解は、残った
③
である。

解答テ：３

余談

問題を解くのに命題Ａの証明は必要ないけれど、せっかくだから載せておく。

仮定より
c1≠−3 である。

①式より
(ck+3)(2ck+1−ck+3)=0
だけど、n=kのときcn≠−3だと仮定すると、この式の赤い部分は0じゃない。
したがって、この式が成り立つためには、緑の部分が0、つまり
2ck+1−ck+3=0
でないといけない。

これを変形すると
ck+1=ck−32式Ｆ
とかける。

いま
ck≠−3
なので、

途中式 ck−3≠−3−3
ck−32≠−3−32
より
ck−32≠−3
である。

これは式Ｆの右辺なので、式Ｆは
ck+1≠−3
となるから、
n=kのときcn≠−3ならば、n=k+1のときもcn=−3である ことが分かる。

以上より、すべての自然数nについてcn≠−3である。

(iv)

ここで、数列{cn}の性質をまとめておく。

式Ｅで
cn+1=−3であれば、cn=−3
であることが分かっているから、
{cn+1=−3であれば、cn=−3cn=−3であれば、cn−1=−3cn−1=−3であれば、cn−2=−3⋮
より
cn=−3であれば、c1=−3式Ｇ であるといえる。

cn=−3のとき、①式の左辺は
(−3+3)(2cn+1+3+3)=0×(2cn+1+3+3)=0 なので、cn+1がどんな値でも①式は成り立つ。

つまり、
cn=−3のとき、cn+1はどんな値でもいい
式Ｈ ことになる。

この二つの性質を使って、(I)，(II)，(III)の命題を考えよう。

(I)(II)

式Ｇより
c100=−3であれば、c1=−3 だ。

よって、
(I)を満たす数列は存在しないから、(I)は偽 (II)を満たす数列は存在するので、(II)は真 である。

(III)

例えばc99=−3である場合を考えると
式Ｈより、c99=−3のときc100はどんな値でもいいから、c100=3でもいい 式Ｇより、c99=−3ならばc1=−3である となるので、(III)を満たす数列{cn}ができる。

よって、(III)は真である。

以上より、解答群のうち正しいものは
④
であることが分かる。

解答ト：４