方程式
$S(x)=0$
の解は、解の公式より
$x={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 7}}{2\cdot 1}}$
とかける。

これを計算して、求める$x$は
$$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{-4\pm \sqrt{4(4-7)}}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-4\pm 2\sqrt{-3}}{2}}\\ & =-2\pm \sqrt{3}i\end{array}$$ である。

解答コ：－, サ：２, シ：３

また、$P(x)$を$S(x)$で割ると

		$2x$	$-1$
$x^2+4x+7$	$)$	$2x^3$	$+7x^2$	$+10x$	$+5$
		$2x^3$	$+8x^2$	$+14x$
			$-x^2$	$-4x$
			$-x^2$	$-4x$	$-7$
					$12$

なので、
$\{\begin{array}{l}T(x)=2x-1\\ U(x)=12\end{array}$
となる。

解答ス：２, セ：１, ソ：１, タ：２

チだけど、問題の意味がよく分からないかも知れない。
要するに、
$\{\begin{array}{l}P(x)=S(x)T(x)+k\mathrm{式}Ａ\\ S(\alpha )=S(\beta )=0\mathrm{式}Ｂ\\ P(\alpha )=P(\beta )=k\mathrm{式}Ｃ\end{array}$
の３式について、どれを材料にしてどれが導かれているかが問われている。

それぞれの選択肢の内容を図で表すと、次のようになる。

ということで、式Ａ～式Ｃがどのように導かれるか考えよう。

以上より、
式Ａ，式Ｂは問題文から直接導かれる 式Ｃは式Ａと式Ｂから導かれる ことが分かる。

よって、選択肢のうち正しいのは
③
である。

解答チ：３

次はツ。

チが③だったから、問題文のこの部分は
「(前略) … $P(\alpha )=P(\beta )=k$となることが導かれる。したがって，余りが定数になるとき，ツが成り立つ」 となる。

つまり、ツに入るのは、式Ｃの
$P(\alpha )=P(\beta )=k$式Ｃ
から分かることだ。

なので、解答群のうち正しいのは、式Ｃの前半と同じ
①
である。

解答ツ：１

余談

解答群の他の選択肢についても説明しておくと、
⓪，②
式Ｃを求める途中、式Ｅで$T(\alpha )$，$T(\beta )$の両方とも$0$をかけて消えるから、$T(\alpha )=T(\beta )$であっても$T(\alpha )\ne T(\beta )$であっても結果には影響がない。
つまり ⓪と②のどちらでもいいので、両方とも不適
③
式Ｃと矛盾するから不適
である。

以上より、
余りが定数$\Rightarrow P(\alpha )=P(\beta )$ が成り立つ。

次に、
余りが定数$\Leftarrow P(\alpha )=P(\beta )$ が成り立つかどうか考えよう。

$U(x)$は$x$の整式を$x$の二次式で割った余りなので、$x$の一次以下の式だ。
なので、$m$，$n$を定数として
$U(x)=mx+n$式Ｆ
とおける。

これを式Ｄに代入すると、
$P(x)=S(x)T(x)+mx+n$
とかける。

解答テ：１

これに$x=\alpha$，$x=\beta$を代入すると、
$\{\begin{array}{l}P(\alpha )=S(\alpha )T(\alpha )+m\alpha +n\\ P(\beta )=S(\beta )T(\beta )+m\beta +n\end{array}$
となるけど、$S(\alpha )=S(\beta )=0$なので、これはさらに
$\{\begin{array}{l}P(\alpha )=m\alpha +n\\ P(\beta )=m\beta +n\end{array}$式Ｇ
と表せる。

解答ト：１

今は
余りが定数$\Leftarrow P(\alpha )=P(\beta )$ が成り立つがどうか考えている。

なので、
$P(\alpha )=P(\beta )$
と仮定すると、式Ｇより
$m\alpha +n=m\beta +n$
だから
$m\alpha =m\beta$式Ｈ
が成り立つ。

問題文より$\alpha \ne \beta$なので、式Ｈが成り立つためには
$m=0$
でなければならない。

解答ナ：３

これを式Ｆに代入すると、$U(x)$は
$$\begin{array}{rl}U(x)& =0x+n\\ & =n\end{array}$$ となるから、$P(x)$を$S(x)$で割った余りは定数である。

したがって、
余りが定数$\Leftarrow P(\alpha )=P(\beta )$ は成り立つ。

これと、(i)で考えた
余りが定数$\Rightarrow P(\alpha )=P(\beta )$ とを合わせると、
余りが定数$\iff P(\alpha )=P(\beta )$ であることが分かる。

よって、
$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になることと、$P(\alpha )=P(\beta )$であることは同値である といえる。

(2)では
二次方程式$S(x)=0$が異なる２つの解$\alpha$，$\beta$をもつとき、
$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になることと、$P(\alpha )=P(\beta )$であることは同値 余りを$k$とすると、
$P(\alpha )=P(\beta )=k$式Ｃ であることが分かった。
これを使う方針で解こう。

まず、方程式$S(x)=0$の解を求める。

$$\begin{array}{rl}S(x)& =x^2-x-2\\ & =(x-2)(x+1)\end{array}$$ より、方程式$S(x)=0$の解は
$x=-1,2$
だから、$S(x)=0$は異なる２つの解をもつ。

よって、式Ｃより、$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数$k$のとき、
$P(-1)=P(2)=k$式Ｉ
であるはず。

$P(-1)\text{，}P(2)$を求めると、

$$\begin{array}{rl}P(-1)& =(-1{)}^{10}-2\cdot (-1{)}^9\\ & -p(-1{)}^2-5\cdot (-1)\\ & =1+2-p+5\\ & =-p+8\mathrm{式}Ｊ\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}P(2)& =2^{10}-2\cdot 2^9-p\cdot 2^2-5\cdot 2\\ & =-4p-10\end{array}$$

$P(x)$を$S(x)$で割った余りが定数になるときは この２式が等しいので、
$-p+8=-4p-10$
より
$3p=-18$
$p=-6$
であることが分かる。

解答ニ：－, ヌ：６

式Ｉより、余り$k$は$P(-1)$と$P(2)$のどちらを求めてもいい。
ここでは$P(-1)$を求めることにする。

式Ｊにニヌを代入して、求める余りは
$-(-6)+8=14$
である。

解答ネ：１, ノ：４