おすすめはしないけど、図形的に解くと次のような方法もある。

図Ｃ，図Ｄのように、 円$C_1$の中心を点$\mathrm{O}$ 円$C_2$の中心を点$\mathrm{R}$ 円$C_1$と直線$\ell$の接点を点$\mathrm{P}$ 円$C_2$と直線$\ell$の接点を点$\mathrm{Q}$ 点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{OP}$に下ろした垂線の足を点$\mathrm{S}$ 点$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を点$\mathrm{T}$ とする。

まず、図Ｃから。

図中の青い四角形は長方形で、
$\mathrm{PS}=\mathrm{RQ}=$円$C_2$の半径
なので、
$\mathrm{OS}=$円$C_1$の半径$-$円$C_2$の半径
より
$\mathrm{OS}=2-1=1$
である。

よって、黄色い三角形は
$\{\begin{array}{l}\mathrm{OS}=1\\ \mathrm{OR}=4\end{array}$
の直角三角形だ。

この三角形に三平方の定理を使うと、

途中式

$$\begin{array}{rl}\mathrm{RS}& =\sqrt{{\mathrm{OR}}^2-{\mathrm{OS}}^2}\\ & =\sqrt{4^2-1^2}\end{array}$$ より

$\mathrm{RS}=\sqrt{15}$
となる。

ここで、赤い三角形と黄色い三角形は相似なので、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{OP}:\mathrm{OT}:\mathrm{PT}& =\mathrm{OR}:\mathrm{OS}:\mathrm{RS}\\ & =4:1:\sqrt{15}\end{array}$$ だから、
$\mathrm{OP}:\mathrm{OT}=4:1$ $\mathrm{OP}:\mathrm{PT}=4:\sqrt{15}$ と表せる。

これに$\mathrm{OP}=2$を代入すると、
$\mathrm{OT}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $\mathrm{PT}={\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}}$ と求められる。

したがって、図Ｃの点$\mathrm{P}$の座標は
$({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}})$
であることが分かる。

解答ク：１, ケ：２, コ：１, サ：５, シ：２

また、図Ｃのオレンジの点は点$\mathrm{P}$と$y$軸に関して対称なので、オレンジの点の座標は
$({\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{2}})$
である。

図Ｄでも同様に考えると、図中の黄色い三角形は
$\mathrm{OS}=\mathrm{OP}+\mathrm{RQ}=3$ $\mathrm{OR}=4$ の直角三角形だ。

よって、三平方の定理より
$$\begin{array}{rl}\mathrm{RS}& =\sqrt{4^2-3^2}\\ & =\sqrt{7}\end{array}$$ となる。

図Ｄにおいても 赤い三角形と黄色い三角形は相似なので、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{OP}:\mathrm{OT}:\mathrm{PT}& =\mathrm{OR}:\mathrm{OS}:\mathrm{RS}\\ & =4:3:\sqrt{7}\end{array}$$ だから、
$\mathrm{OP}:\mathrm{OT}=4:3$ $\mathrm{OP}:\mathrm{PT}=4:\sqrt{7}$ と表せる。

これに$\mathrm{OP}=2$を代入すると、
$\mathrm{OT}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ $\mathrm{PT}={\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}}$ と求められる。

したがって、図Ｄの点$\mathrm{P}$の座標は
$({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}})$
であることが分かる。

解答ス：３, セ：２, ソ：７, タ：２

また、図Ｄの青い点は点$\mathrm{P}$と$y$軸に関して対称なので、青い点の座標は
$({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{2}})$
である。