大学入学共通テスト 2024年(令和6年) 本試数学Ⅰ 第３問 [1] 解説

(1)

図の固定

図Ａより、

放物線は上に凸なので、
$a < 0$
である。

解答ア：０

放物線の軸は
$x = \frac{- b}{a}$
だけど、これが $y$ 軸より左にあるから、
$\frac{- b}{a} < 0$ 式Ａ
と表せる。

アより $a < 0$ なので、式Ａの両辺に $a$ をかけると
$- b > 0$
となるから、
$b < 0$
である。

解答イ：０

$y = a x^{2} + b x + c$
に
$x = 0$
を代入すると
$y = c$
とかける。

つまり、 $c$ は放物線の $x = 0$ のときの $y$ 座標だ。

よって、
$c < 0$
である。

解答ウ：０

放物線は $x$ 軸と異なる２点で交わっているから、
判別式 $D = b^{2} - 4 a c > 0$
である。

解答エ：２

$y = a x^{2} + b x + c$
に
$x = - 2$
を代入すると
$\begin{aligned} y & = a (- 2)^{2} + b (- 2) + c \\ = 4 a - 2 b + c \end{aligned}$ とかける。

つまり、 $4 a - 2 b + c$ は放物線の $x = - 2$ のときの $y$ 座標だ。

よって、
$4 a - 2 b + c < 0$
である。

解答オ：０

$y = a x^{2} + b x + c$
に
$x = - 1$
を代入すると
$\begin{aligned} y & = a (- 1)^{2} + b (- 1) + c \\ = a - b + c \end{aligned}$ とかける。

つまり、 $a - b + c$ は放物線の $x = - 1$ のときの $y$ 座標だ。

よって、
$a - b + c > 0$
である。

解答カ：２

(2)

問題を解く前に $a$ ， $b$ ， $c$ の値を整理しておく。

Ａ～Ｃの操作前の $a$ ， $b$ ， $c$ の値を $a_{前}$ ， $b_{前}$ ， $c_{前}$ 、操作後の値を $a_{後}$ ， $b_{後}$ ， $c_{後}$ とすると、
操作Ａを行うと $0 > a_{前} > a_{後}$ 操作Ｂを行うと $0 > b_{前} > b_{後}$ 操作Ｃを行うと $0 > c_{前} > c_{後}$ となる。

したがって、どの操作を行っても、つねに
$a < 0$ ， $b < 0$ ， $c < 0$ だ。

以上を頭に入れて、問題を解く。

キ

不等式 $f (x) < 0$ の解がすべての実数になるのは、 $y = f (x)$ のグラフが図Ｂのとき。

図の固定

式で表すと
$a < 0$ 式Ｂ判別式 $D = b^{2} - 4 a c < 0$ 式Ｃのとき。

このうち、式Ｂは必ず成り立つので考えなくていい。
式Ｃだけを考える。

エより、操作前は
$b^{2} - 4 a c > 0$
なので
$b^{2} > 4 a x$
だった。

これが、式Ｃのように
$b^{2} - 4 a c < 0$
つまり
$b^{2} < 4 a c$
になれば、方程式 $f (x) < 0$ の解がすべての実数になる。

この $b^{2}$ と $4 a c$ については、 $a < 0$ ， $b < 0$ ， $c < 0$ なので
${\begin{cases} b^{2} > 0 \\ 4 a c > 0 \end{cases}$
である。

つまり、 ${\begin{cases} b^{2} > 0 \\ 4 a c < 0 \end{cases}$
なので、
$b^{2} < 4 a c$
にはならない
みたいなことにはならない。

したがって、操作Ａ～Ｃのうちで
$b^{2}$ が小さくなるまたは $4 a c$ が大きくなる
条件Ａものを探せばよい。

操作Ａを行うと
$a_{前} > a_{後}$
となるけど、 $c < 0$ なのでこの両辺に $4 c$ をかけると
$4 a_{前} c < 4 a_{後} c$
だ。

これは条件Ａにあてはまるので、操作Ａは答えに含まれる。

操作Ｂを行った場合、
$0 > b_{前} > b_{後}$
より
$b_{前}^{2} < b_{後}^{2}$
となる。

これは条件Ａに当てはまらないから、操作Ｂは答えに含まれない。

操作Ｃを行うと
$c_{前} > c_{後}$
となるけど、 $a < 0$ なのでこの両辺に $4 a$ をかけると
$4 a c_{前} < 4 a c_{後}$
だ。

これは条件Ａにあてはまるので、操作Ｃは答えに含まれる。

以上より、 $f (x) < 0$ の解がすべての実数になり得るのは、

操作Ａと操作Ｃであることが分かる。

解答キ：5

ク

方程式 $f (x) = 0$ が異なる2つの正の解をもつのは、 $y = f (x)$ のグラフが図Ｃまたは図Ｄのとき。

図の固定

どちらの場合も放物線の軸は $y$ 軸よりも右だから、
$0 < \frac{- b}{a}$ 式Ｄ
でなければならない。

しかし、Ａ～Ｃのどの操作を行ってもつねに
${\begin{cases} a < 0 \\ b < 0 \end{cases}$
なので、
$\frac{- b}{a} < 0$
である。

したがって、式Ｄが成り立つことはない。

以上より、Ａ～Ｃのどの操作を行っても、 $f (x) = 0$ が異なる2つの正の解をもつことはない。

解答ク：0