まず、$2\sqrt{13}$ がどのくらいの数か考える。

$$\begin{array}{rl}2\sqrt{13}& =\sqrt{2^2\times 13}\\ & =\sqrt{52}\end{array}$$ と変形できる。

ここで、
$7^2<52<8^2$
なので、
$$\begin{array}{rlrl}\sqrt{7^2}& <\sqrt{52}& & <\sqrt{8^2}\\ 7& <2\sqrt{13}& & <8\mathrm{①}\end{array}$$ であることが分かる。

解答：ア：７

いま
$$\{\begin{array}{l}a=2\sqrt{13}-7\mathrm{②}\\ b={\displaystyle \frac{1}{a}}\mathrm{③}\end{array}$$ とすると、②式を③式に代入して
$b={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{13}-7}}$
とかける。

この式の右辺の分母を有理化すると、$b$ は
$$\begin{array}{rl}b& ={\displaystyle \frac{2\sqrt{13}+7}{(2\sqrt{13}-7)(2\sqrt{13}+7)}}\\ & ={\displaystyle \frac{7+2\sqrt{13}}{52-49}}\\ & ={\displaystyle \frac{7+2\sqrt{13}}{3}}\mathrm{④}\end{array}$$ と表せる。

解答イ：７, ウ：３

次は $a^2-9b^2$ の値だ。

$a^2-9b^2=(a+3b)(a-3b)$
に②，④式を代入すると、
$$\begin{array}{rl}{a}^2-9b^2& =(2\sqrt{13}-7+3\cdot {\displaystyle \frac{7+2\sqrt{13}}{3}})\\ & \cdot (2\sqrt{13}-7-3\cdot {\displaystyle \frac{7+2\sqrt{13}}{3}})\end{array}$$ となる。

これを計算して、求める値は
$$\begin{array}{rl}{a}^2-9b^2& =(2\sqrt{13}-7+7+2\sqrt{13})\\ & \cdot (2\sqrt{13}-7-7-2\sqrt{13})\\ & =4\sqrt{13}\cdot (-14)\\ & =-56\sqrt{13}\end{array}$$ である。

解答エ：－, オ：５, カ：６

また、①式の各辺を $2$ で割ると
${\displaystyle \frac{7}{2}}<\sqrt{13}<4$⑤
ができる。

次に、①，④式から$b$の範囲を求める。
具体的には、①式を変形して④式を代入し、$b$の式をつくる。

①式の各辺に $7$ をたして、
$14<7+2\sqrt{13}<15$

各辺を $3$ で割って、
${\displaystyle \frac{14}{3}}<{\displaystyle \frac{7+2\sqrt{13}}{3}}<{\displaystyle \frac{15}{3}}$

④式より、この式の赤い部分は $b$ なので、
${\displaystyle \frac{14}{3}}<b<{\displaystyle \frac{15}{3}}$
となる。

解答キ：１, ク：４

これに③式を代入すると、
${\displaystyle \frac{14}{3}}<{\displaystyle \frac{1}{a}}<{\displaystyle \frac{15}{3}}$
とかける。

この式の各辺は正の数なので、各辺の逆数をとって
${\displaystyle \frac{3}{14}}>a>{\displaystyle \frac{3}{15}}$
より
${\displaystyle \frac{1}{5}}<a<{\displaystyle \frac{3}{14}}$⑥
である。

あとは、②，⑥式から$\sqrt{13}$の概数を求めればOKだ。

⑥式に②式を代入して、
$7+{\displaystyle \frac{1}{5}}<2\sqrt{13}<7+{\displaystyle \frac{3}{14}}$

各辺を $2$ で割って、
${\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{10}}<\sqrt{13}<{\displaystyle \frac{7}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{28}}$

この式の分数を小数にすると
$3.5+0.1<\sqrt{13}<3.5+0.107\dots$
なので、
$3.6<\sqrt{13}<3.607\dots$
と表せる。

以上より、$\sqrt{13}$の
整数部分は$3$
小数第１位の数字は$6$
小数第２位の数字は$0$ であることが分かる。

解答ケ：３, コ：６, サ：０