まず、$2\sqrt{13}$ がどのくらいの数か考える。

$$ \begin{align} 2\sqrt{13}&=\sqrt{2^{2}\times 13}\\ &=\sqrt{52} \end{align} $$ と変形できる。

ここで、
$7^{2} \lt 52 \lt 8^{2}$
なので、
$$ \begin{alignat}{2} \sqrt{7^{2}} &\lt \sqrt{52} &&\lt \sqrt{8^{2}}\\ 7 &\lt 2\sqrt{13} &&\lt 8 \class{tex_formula}{①} \end{alignat} $$ であることが分かる。

解答：ア：７

いま
$$ \left\{\begin{array}{l} a=2\sqrt{13}-7\class{tex_formula}{②}\\ b=\dfrac{1}{a}\class{tex_formula}{③} \end{array}\right. $$ とすると、②式を③式に代入して
$b=\dfrac{1}{2\sqrt{13}-7}$
とかける。

この式の右辺の分母を有理化すると、$b$ は
$$ \begin{align} b&=\dfrac{2\sqrt{13}+7}{(2\sqrt{13}-7)(2\sqrt{13}+7)}\\ &=\dfrac{7+2\sqrt{13}}{52-49}\\ &=\dfrac{7+2\sqrt{13}}{3}\class{tex_formula}{④} \end{align} $$ と表せる。

解答イ：７, ウ：３

次は $a^{2}-9b^{2}$ の値だ。

$a^{2}-9b^{2}=(a+3b)(a-3b)$
に②，④式を代入すると、
$$ \begin{align} a^{2}-9b^{2}&=\left(2\sqrt{13}-7+3\cdot\dfrac{7+2\sqrt{13}}{3}\right)\\ &\hspace{40px} \cdot\left(2\sqrt{13}-7-3\cdot\dfrac{7+2\sqrt{13}}{3}\right) \end{align} $$ となる。

これを計算して、求める値は
$$ \begin{align} a^{2}-9b^{2}&=(2\sqrt{13}-7+7+2\sqrt{13})\\ &\hspace{40px} \cdot(2\sqrt{13}-7-7-2\sqrt{13})\\ &=4\sqrt{13}\cdot(-14)\\ &=-56\sqrt{13} \end{align} $$ である。

解答エ：－, オ：５, カ：６

また、①式の各辺を $2$ で割ると
$\dfrac{7}{2} \lt \sqrt{13} \lt 4$⑤
ができる。

次に、①，④式から$b$の範囲を求める。
具体的には、①式を変形して④式を代入し、$b$の式をつくる。

①式の各辺に $7$ をたして、
$14 \lt 7+2\sqrt{13} \lt 15$

各辺を $3$ で割って、
$\dfrac{14}{3} \lt \textcolor{red}{\dfrac{7+2\sqrt{13}}{3}} \lt \dfrac{15}{3}$

④式より、この式の赤い部分は $b$ なので、
$\dfrac{14}{3} \lt \textcolor{red}{b} \lt \dfrac{15}{3}$
となる。

解答キ：１, ク：４

これに③式を代入すると、
$\dfrac{14}{3} \lt \dfrac{1}{a} \lt \dfrac{15}{3}$
とかける。

この式の各辺は正の数なので、各辺の逆数をとって
$\dfrac{3}{14} \gt a \gt \dfrac{3}{15}$
より
$\dfrac{1}{5} \lt a \lt \dfrac{3}{14}$⑥
である。

あとは、②，⑥式から$\sqrt{13}$の概数を求めればOKだ。

⑥式に②式を代入して、
$7+\dfrac{1}{5} \lt 2\sqrt{13} \lt 7+\dfrac{3}{14}$

各辺を $2$ で割って、
$\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{10} \lt \sqrt{13} \lt \dfrac{7}{2}+\dfrac{3}{28}$

この式の分数を小数にすると
$ 3.5+0.1 \lt \sqrt{13} \lt 3.5+0.107\ldots$
なので、
$ 3.6 \lt \sqrt{13} \lt 3.607\ldots$
と表せる。

以上より、$\sqrt{13}$の
整数部分は$3$
小数第１位の数字は$6$
小数第２位の数字は$0$ であることが分かる。

解答ケ：３, コ：６, サ：０