$\{\begin{array}{l}\mathrm{BC}=5\\ \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={60}^{\circ }\\ \text{外接円の半径}R=\sqrt{7}\end{array}$条件Ａ
を満たす△$\mathrm{ABC}$三角形について考える。

△$\mathrm{ABC}$に正弦定理を使うと、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}}}=2R$
より
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}}=2\sqrt{7}$
とかける。

これを計算して、
$$\begin{array}{rl}\mathrm{AC}& ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot 2\sqrt{7}\\ & =\sqrt{21}\end{array}$$ である。

解答ア：２, イ：１

このとき、△$\mathrm{ABC}$に余弦定理を使うと、
${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}$
より
${\sqrt{21}}^2={\mathrm{AB}}^2+5^2-2\mathrm{AB}\cdot 5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}$
と表せる。

これを計算して、

途中式

${\mathrm{AB}}^2-5\mathrm{AB}+25-21=0$
${\mathrm{AB}}^2-5\mathrm{AB}+4=0$
$(\mathrm{AB}-1)(\mathrm{AB}-4)=0$

$\mathrm{AB}=1$，$4$
である。

解答ウ：１, エ：４

(1)で考えた条件Ａを
$\{\begin{array}{l}\mathrm{BC}=5\\ \mathrm{\angle }\mathrm{ABC}={60}^{\circ }\\ \text{外接円の半径}R\end{array}$条件Ｂ
に変えて、もう一度同じような作業をすると、

正弦定理より
${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}}=2R$
なので、$\mathrm{AC}$は
$\mathrm{AC}=\sqrt{3}R$

これを余弦定理に代入すると
$(\sqrt{3}R{)}^2={\mathrm{AB}}^2+5^2-2\mathrm{AB}\cdot 5\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}$
より、
${\mathrm{AB}}^2-5\mathrm{AB}+25-3R^2=0$式Ａ
となって、$\mathrm{AB}$についての二次方程式ができる。

式Ａの解を使うと、条件Ｂを満たす△$\mathrm{ABC}$の三辺は
$\mathrm{AB}=$式Ａの正の解，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{AC}=\sqrt{3}R$ と表せる。

よって、
式Ａの正の解がひとつ
$\Updownarrow$
△$\mathrm{ABC}$の三辺が一通りに決まる
だから、条件Ｂを満たす△$\mathrm{ABC}$が一通りに決まるための必要十分条件は
式Ａの正の解がひとつ といえる。

ということで、式Ａの正の解がひとつになる場合を考える。

パターンＡ

式Ａの判別式より、式Ａが重解をもつのは
$(-5{)}^2-4\cdot 1\cdot (25-3R^2)=0$
のとき。

これを計算して、式Ａが重解をもつのは

途中式

$25-4\cdot 25+4\cdot 3R^2=0$
$4\cdot 3R^2=3\cdot 25$
$R^2={\displaystyle \frac{25}{4}}$

$R=\pm {\displaystyle \frac{5}{2}}$
だけど、$R>0$なので、
$R={\displaystyle \frac{5}{2}}$
のとき。

このとき、式Ａは

途中式

${\mathrm{AB}}^2-5\mathrm{AB}+{(2\cdot {\displaystyle \frac{5}{2}})}^2-3\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2=0$
${\mathrm{AB}}^2-5\mathrm{AB}+{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2=0$

${(\mathrm{AB}-{\displaystyle \frac{5}{2}})}^2=0$
となって重解は正になるから、パターンＡの条件を満たす。

解答オ：５, カ：２

パターンＢ

式Ａの左辺の$\mathrm{AB}$を$x$とおいて、
$y=x^2-5x+25-3R^2$
としたグラフは
下に凸の放物線 放物線の軸は$y$軸より右 $y$軸との交点の$y$座標は$25-3R^2$ なので、図Ｂのようになる。

いま求めているのは、式Ａが正と$0$以下の解をもつ場合。
図Ｂでいうと、放物線と$x$軸の交点の$x$座標が正と$0$以下の場合だ。

これは、放物線と$x$軸が
$y$軸より左（$y$軸を含む） $y$軸より右 の２か所で交わる場合なので、$x$軸が図Ｂの赤い線より上（赤い線と重なるときを含む）にある場合である。

このとき、赤い点の$y$座標は$0$以下になるので、
$25-3R^2\leqq 0$
と表せる。

これを解くと

途中式

$3R^2\geqq 25$
$R^2\geqq {\displaystyle \frac{25}{3}}$
より

$R\leqq -{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}$，${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}\leqq R$
となるけど、$R>0$なので、
${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{3}}}\leqq R$
だ。

この分母を有理化して、パターンＢの条件を満たす$R$の範囲は
${\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{3}}\leqq R$
である。

解答キ：５, ク：３, ケ：３