$S(x)=0$
つまり
$(x-2)\{x^2-2(p+1)x+2p^2-2p+5\}=0$
の解は、
$x-2=0$ $x^2-2(p+1)x+2p^2-2p+5=0$① のふたつの方程式の解を合わせたもの。

$x-2=0$ の解は$2$で実数なので、全ての解が実数になるのは、方程式①が実数解をもつときだ。

①式の判別式は
$\{-2(p+1){\}}^2-4\cdot 1\cdot (2p^2-2p+5)$

途中式

$=4\{(p+1{)}^2-(2p^2-2p+5)\}$
$=4(p^2+2p+1-2p^2+2p-5)$

$=4(-p^2+4p-4)$式Ａ
とかける。

よって、①が実数解をもつのは
$4(-p^2+4p-4)\geqq 0$
より
$p^2-4p+4\leqq 0$
のとき。

解答ア：４, イ：４

これを解いて、①が実数解をもつのは
$(p-2{)}^2\leqq 0$
$p=2$
のとき。

解答ウ：２

これを①式に代入すると

途中式

$x^2-2(2+1)x+2\cdot 2^2-2\cdot 2+5=0$
$x^2-6x+9=0$

$(x-3{)}^2=0$
となるから、このときの方程式①の解は
$x=3$
の重解である。

解答エ：３

$p\ne 2$のときの方程式①の解を求めるのには、解の公式を使う。
解の公式の根号の中は判別式なので、式Ａが使えて
$x={\displaystyle \frac{2(p+1)\pm \sqrt{4(-p^2+4p-4)}}{2\cdot 1}}$
と表せる。

これを計算すると、①の解は

途中式

$x={\displaystyle \frac{2(p+1)\pm 2\sqrt{-p^2+4p-4}}{2}}$
$\phantom{x}=p+1\pm \sqrt{-(p^2-4p+4)}$
$\phantom{x}=p+1\pm \sqrt{i^2(p-2{)}^2}$
より

$x=p+1\pm (p-2)i$
となる。

解答オ：１, カ：２

$T(x)=0$ の解のひとつが $x=r$ なので、$T(x)=0$ に $x=r$ を代入して
$r^3+r+q=0$
より
$q=-r^3+r$
とかける。

解答キ：３

これを$T(x)$の式に代入すると、
$T(x)=x^3+x-r^3-r$
となる。

この式の右辺を
$T(x)=x^3-r^3+x-r$
と変形して因数分解すると、
$T(x)=(x-r)(x^2+rx+r^2)+x-r$
$\phantom{T(x)}=(x-r)(x^2+rx+r^2+1)$
と表せる。

解答ク：２, ケ：１

よって、$T(x)=0$ の $x=r$ 以外の解は、方程式
$x^2+rx+r^2+1=0$式Ｂ
の解である。

式Ｂの判別式を$D$とすると、
$D=r^2-4\cdot 1\cdot (r^2+1)$
$\phantom{D}=-3r^2-4$式Ｃ
だ。

ここで、すべての実数$r$について
$-3r^2-4<0$
だから、$D$は必ず
$D<0$
になる。

解答コ：０

また、式Ｂの解は、解の公式より
$x={\displaystyle \frac{-r\pm \sqrt{D}}{2}}$式Ｄ
とかける。

いま
$D<0$
だから、式Ｄの根号の中は負の値だ。
この根号の中を正の値にすると
$x={\displaystyle \frac{-r\pm \sqrt{-D}i}{2}}$式Ｄ'
となる。

詳しく

$D<0$
だから
$-D>0$
だ。

なので、式Ｄの根号の中を正の値の$-D$にしたい。

$D=-D\times (-1)$
と考えると、
$D=-D{i}^2$
とかける。

これを式Ｄに代入すると、
$x={\displaystyle \frac{-r\pm \sqrt{-D{i}^2}}{2}}$
$\phantom{x}={\displaystyle \frac{-r\pm \sqrt{-D}i}{2}}$式Ｄ'
となって、根号の中が正の値になる。

解答サ：６

以上より、式Ｂの解、つまり $T(x)=0$ の $x=r$ 以外の解${\alpha }^{\prime }$，${\beta }^{\prime }$は
虚数であり、互いに共役な複素数である ことが分かる。

解答シ：２

この共役な複素数は、式Ｄ'に式Ｃを代入して、
$x={\displaystyle \frac{-r\pm \sqrt{-(-3r^2-4)}i}{2}}$
$\phantom{x}=-{\displaystyle \frac{r}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3r^2+4}i}{2}}$
である。

ここで、これまでに分かったことをまとめておく。

これをもとに、$S(x)=0$ と $T(x)=0$ の共通の解を考える。

まとめより、$x=2$ が共通の解になるのは、
$T(x)=0$ の実数解$r$が$2$であるとき だけしかない。

よって、このときの$r$の値は
$r=2$ の１個存在する ことになる。

解答ス：１

$S(x)=0$ の実数解は$2$と$3$しかない。
よって、共通の実数解が $x=2$ 以外のとき、
共通の実数解は $x=3$ しかない。

このとき、
$S(x)=0$ が解 $x=3$ をもつので、$p=2$ $T(x)=0$ が解 $x=3$ をもつので、$r=3$ である。

解答セ：２, ソ：３

共通の解が虚数のとき、
$p+1\pm (p-2)i=-{\displaystyle \frac{r}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3r^2+4}i}{2}}$
または
$p+1\pm (p-2)i=-{\displaystyle \frac{r}{2}}\mp {\displaystyle \frac{\sqrt{3r^2+4}i}{2}}$
である。（複合同順）

このことから、連立方程式
$p+1=-{\displaystyle \frac{r}{2}}$式Ｅ $p-2=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3r^2+4}}{2}}$式Ｆ ができる。

これを解く。

式Ｅより
$p=-{\displaystyle \frac{r}{2}}-1$式Ｅ'

これを式Ｆに代入して、

途中式

$-{\displaystyle \frac{r}{2}}-1-2=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3r^2+4}}{2}}$
$-{\displaystyle \frac{r}{2}}-3=\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{3r^2+4}}{2}}$

$-r-6=\pm \sqrt{3r^2+4}$

この両辺を２乗すると、

途中式

$(-r-6{)}^2=3r^2+4$
$r^2+12r+36=3r^2+4$
$2r^2-12r-32=0$

$r^2-6r-16=0$
と変形できる。

この左辺を因数分解すると、
$(r-8)(r+2)=0$
なので、
$r=-2$，$8$
である。

これを式Ｅ'に代入して、$p$は
$r=-2$ のとき、
$p=-{\displaystyle \frac{-2}{2}}-1=0$
$r=8$ のとき、
$p=-{\displaystyle \frac{8}{2}}-1=-5$
となる。

以上より、
共通の解が虚数のとき、
$(p,r)=(0,-2)$，$(-5,8)$ であることが分かる。

解答タ：０, チ：－, ツ：２, テ：－, ト：５, ナ：８