$y=f(x)$の式
$y=(x-2)(x-8)+p$
は
$y-p=(x-2)(x-8)$
と変形できるから、放物線
$y=(x-2)(x-8)$式Ａ
を$y$軸方向に$p$平行移動したもの。

式Ａの放物線は、$x$軸と
$x=2$，$8$
で交わるので、頂点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{2+8}{2}}=5$
である。

よって、頂点の$y$座標は、式Ａに$x=5$を代入した
$(5-2)(5-8)=-9$
となるから、式Ａの放物線の頂点は
$(5,-9)$式Ｂ
だ。

$y=f(x)$の頂点は、式Ａの放物線の頂点を$y$軸方向に$p$平行移動したものなので、式Ｂより
$(5,-9+p)$
となる。

解答ア：５, イ：－, ウ：９

$f(x)$の$x^2$の係数は$1$で正だから、二次関数$y=f(x)$のグラフは下に凸だ。
なので、頂点の$y$座標が
正のとき、$x$軸と共有点をもたない $0$のとき、頂点で$x$軸と接する 負のとき、$x$軸と異なる２点で交わる ことになる。

イウより、頂点の$y$座標は$-9+p$だから、

ことが分かる。

$y=f(x)$のグラフは、
$x^2$の係数が$1$ 頂点が$(5,-9+p)$ であることが分かっている。

なので、これを$x$軸方向に$-3$，$y$軸方向に$5$平行移動した$y=g(x)$は、
$x^2$の係数が$1$ 頂点が$(5-3,-9+p+5)=(2,-4+p)$ になる。

よって、$g(x)$の式は
$g(x)=(x-2{)}^2-4+p$
より
$g(x)=x^2-4x+4-4+p$
$\phantom{g(x)}=x^2-4x+p$
とかける。

解答カ：４

別解

$f(x)$の式をそのまま平行移動すると、次のようになる。

$y=(x-2)(x-8)+p$
の$x$に$x+3$，$y$に$y-5$を代入すると、
$y-5=\{(x+3)-2\}\{(x+3)-8\}+p$
とかける。

これを計算すると
$$\begin{array}{rl}y& =(x+1)(x-5)+5+p\\ & =x^2-4x-5+5+p\\ & =x^2-4x+p\end{array}$$ なので、
$g(x)=x^2-4x+p$
である。

解答カ：４

最後に
$y=|f(x)-g(x)|$式Ｃ
を考える。

式Ｃに$f(x)$と$g(x)$の式を代入すると、
$y=|(x-2)(x-8)+p-(x^2-4x+p)|$
$\phantom{y}=|x^2-10x+16+p-x^2+4x-p|$
$\phantom{y}=|-6x+16|$
と表せる。

このグラフは
$y=-6x+16$
のグラフの$x$軸より下の部分を折り返したものだから、図Ａのオレンジの折れ線である。

折れ曲がる点の$x$座標は
$-6x+16=0$
より $$\begin{array}{rl}x& ={\displaystyle \frac{16}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{3}}\end{array}$$ だ。

図Ａより、式Ｃのグラフは
$x={\displaystyle \frac{8}{3}}$で最小値$0$をとる ことが分かる。

解答キ：８, ク：３