図Ａの三角錐$\mathrm{PABC}$において、点$\mathrm{M}$は$\mathrm{BC}$の中点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{2}$
より
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$式Ａ
と表せる。

解答ア：１, イ：２, ウ：１, エ：２

また、
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos\theta$ $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos\theta$ だから
$\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}=\cos\theta$ $\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}=\cos\theta$ だ。

よって、
$\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}=\dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}=\cos\theta$①
とかける。

解答オ：１

$\theta=45^{\circ}$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=3\sqrt{2}$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{B}}\right|=3$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{C}}\right|=3$のとき、三角錐$\mathrm{PABC}$は例えば図Ｂのような形だ。

$\cos\theta=\cos45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ $\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=3\sqrt{2}$ $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=3$ なので、

より
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=9$式Ｂ
である。

解答カ：９

さらに、$\angle \mathrm{APD}=90^{\circ}$つまり$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{D}}$のとき、
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{D}}=0$
より
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right)=0$
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|^{2}=0$
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|^{2}$式Ｃ
と表せる。

ここで、点$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{AM}$上の点なので、$r$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=r\overrightarrow{\mathrm{AM}}$式Ｄ
とかけ、これに式Ａを代入すると
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=r\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)$
となる。

これを式Ｃに代入して
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot r\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|^{2}$
より
$\dfrac{r}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|^{2}$式Ｅ

これに$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=3\sqrt{2}$と式Ｂを代入すると
$\dfrac{r}{2}(9+9)=\left(3\sqrt{2}\right)^{2}$
$\hspace{66px} =18$
$r=2$
だから、式Ｄより
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}$
であることが分かる。

解答キ：２

(2)と同様に考えると、$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{A}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{P}\mathrm{Q}}$のとき、式Ｅから
$\dfrac{2}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|^{2}$
より
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|^{2}$式Ｆ
$\phantom{ \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} } =\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
が成り立つ。

解答ク：０

また、
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos\theta$ $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos\theta$ なので、式Ｆは
$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos\theta+\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos\theta=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|^{2}$
より
$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos\theta+\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos\theta=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$式Ｇ
となることが分かる。

解答ケ：３

コの解答群を見ると、$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$についての式が並んでいる。
なので、
$k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$式Ｈ
を$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$で表そう。

式Ｈを変形して
$ k\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos\theta=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos\theta$
とする。

これを整理すると
$k\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$
とかける。

解答コ：０

つまり、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=1:k$式Ｉ
だ。

次のサシの解答群は突然ベクトルっぽくない感じになってるけど、大丈夫。
これまでに求めたもののうち、式Ｇと式Ｉはまだ何にも使ってない。
なので、この２つの式を使って解けば良いのだ。

いま、問題の図形は例えば図Ｅのような状態だ。

まず 式Ｉから使おう。

図Ｅの青い三角形と緑の三角形は
$\angle \mathrm{BAB}'=\angle \mathrm{CAC}'=\theta$ $\angle \mathrm{AB}'\mathrm{B}=\angle \mathrm{AC}'\mathrm{C}=90^{\circ}$ なので相似だ。

よって
$\mathrm{AB}':\mathrm{AC}'=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$
だから、式Ｉより
$\mathrm{AB}':\mathrm{AC}'=1:k$ である。

次に、式Ｇ。

図Ｅの青と緑の三角形は両方とも直角三角形なので、
$\left\{\begin{array}{l} \cos\angle \mathrm{B}\mathrm{AB}'=\dfrac{\mathrm{AB}'}{\mathrm{AB}}\\ \cos\angle \mathrm{C}\mathrm{AC}'=\dfrac{\mathrm{AC}'}{\mathrm{AC}} \end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l} \cos\theta=\dfrac{\mathrm{AB}'}{\mathrm{AB}}\\ \cos\theta=\dfrac{\mathrm{AC}'}{\mathrm{AC}} \end{array}\right.$
とかける。

これを式Ｇに代入すると
$\mathrm{AB}\cdot\dfrac{\mathrm{AB}'}{\mathrm{AB}}+\mathrm{AC}\cdot\dfrac{\mathrm{AC}'}{\mathrm{AC}}=\mathrm{AP}$
から
$\mathrm{AB}'+\mathrm{AC}'=\mathrm{AP}$ となる。

以上より、$\overrightarrow{\mathrm{AB'}}$を→，$\overrightarrow{\mathrm{AC'}}$を→とすると、点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B'}$，$\mathrm{C'}$，$\mathrm{P}$の位置関係は例えば図Ｆのようになる。

図Ｆより
点$\mathrm{B}'$は線分$\mathrm{AP}$を$1:k$に内分する点 点$\mathrm{C}'$は線分$\mathrm{AP}$を$k:1$に内分する点 である。

解答サ：４

$k=1$のとき、問題の図形は例えば図Ｇのような形だ。

このとき、点$\mathrm{B}'$と点$\mathrm{C}'$は一致して、線分$\mathrm{AP}$の中点になる。

図Ｇの青い三角形と緑の三角形を考えると
青い三角形は、辺$\mathrm{AP}$の垂直二等分線が頂点$\mathrm{B}$を通るので、$\mathrm{BP}=\mathrm{BA}$の二等辺三角形になる 同様に、緑の三角形も、$\mathrm{CP}=\mathrm{CA}$の二等辺三角形になる ことが分かる。

解答シ：２