図Ａの三角錐$\mathrm{PABC}$において、点$\mathrm{M}$は$\mathrm{BC}$の中点なので、
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{2}}$
より
$\overrightarrow{\mathrm{AM}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$式Ａ
と表せる。

解答ア：１, イ：２, ウ：１, エ：２

また、
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos \theta$ $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos \theta$ だから
${\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}}=\cos \theta$ ${\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}}=\cos \theta$ だ。

よって、
${\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|}}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|}}=\cos \theta$①
とかける。

解答オ：１

$\theta ={45}^{\circ }$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=3\sqrt{2}$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PB}}\right|=3$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{PC}}\right|=3$のとき、三角錐$\mathrm{PABC}$は例えば図Ｂのような形だ。

$\cos \theta =\cos {45}^{\circ }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ $\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=3\sqrt{2}$ $\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=3$ なので、

より
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=9$式Ｂ
である。

解答カ：９

さらに、$\mathrm{\angle }\mathrm{APD}={90}^{\circ }$つまり$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$のとき、
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}=0$
より
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{AD}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}})=0$
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}-{\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2=0$
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}={\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$式Ｃ
と表せる。

ここで、点$\mathrm{D}$は直線$\mathrm{AM}$上の点なので、$r$を実数として
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=r\overrightarrow{\mathrm{AM}}$式Ｄ
とかけ、これに式Ａを代入すると
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=r({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AC}})$
となる。

これを式Ｃに代入して
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot r({\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{\mathrm{AC}})={\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$
より
${\displaystyle \frac{r}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}})={\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$式Ｅ

これに$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|=3\sqrt{2}$と式Ｂを代入すると
${\displaystyle \frac{r}{2}}(9+9)={\left(3\sqrt{2}\right)}^2$
$=18$
$r=2$
だから、式Ｄより
$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}$
であることが分かる。

解答キ：２

(2)と同様に考えると、$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=2\overrightarrow{\mathrm{AM}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$のとき、式Ｅから
${\displaystyle \frac{2}{2}}(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}})={\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$
より
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}={\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$式Ｆ
$\phantom{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$
が成り立つ。

解答ク：０

また、
$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos \theta$ $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos \theta$ なので、式Ｆは
$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos \theta +\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos \theta ={\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}^2$
より
$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos \theta +\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos \theta =\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$式Ｇ
となることが分かる。

解答ケ：３

コの解答群を見ると、$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$についての式が並んでいる。
なので、
$k\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$式Ｈ
を$\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|$，$\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$で表そう。

式Ｈを変形して
$k\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|\cos \theta =\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|\cos \theta$
とする。

これを整理すると
$k\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|$
とかける。

解答コ：０

つまり、
$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|:\left|\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right|=1:k$式Ｉ
だ。

次のサシの解答群は突然ベクトルっぽくない感じになってるけど、大丈夫。
これまでに求めたもののうち、式Ｇと式Ｉはまだ何にも使ってない。
なので、この２つの式を使って解けば良いのだ。

いま、問題の図形は例えば図Ｅのような状態だ。

まず 式Ｉから使おう。

図Ｅの青い三角形と緑の三角形は
$\mathrm{\angle }{\mathrm{BAB}}^{\prime }=\mathrm{\angle }{\mathrm{CAC}}^{\prime }=\theta$ $\mathrm{\angle }{\mathrm{AB}}^{\prime }\mathrm{B}=\mathrm{\angle }{\mathrm{AC}}^{\prime }\mathrm{C}={90}^{\circ }$ なので相似だ。

よって
${\mathrm{AB}}^{\prime }:{\mathrm{AC}}^{\prime }=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}$
だから、式Ｉより
${\mathrm{AB}}^{\prime }:{\mathrm{AC}}^{\prime }=1:k$ である。

次に、式Ｇ。

図Ｅの青と緑の三角形は両方とも直角三角形なので、
$\{\begin{array}{l}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}{\mathrm{AB}}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\mathrm{AB}}^{\prime }}{\mathrm{AB}}}\\ \cos \mathrm{\angle }\mathrm{C}{\mathrm{AC}}^{\prime }={\displaystyle \frac{{\mathrm{AC}}^{\prime }}{\mathrm{AC}}}\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}\cos \theta ={\displaystyle \frac{{\mathrm{AB}}^{\prime }}{\mathrm{AB}}}\\ \cos \theta ={\displaystyle \frac{{\mathrm{AC}}^{\prime }}{\mathrm{AC}}}\end{array}$
とかける。

これを式Ｇに代入すると
$\mathrm{AB}\cdot {\displaystyle \frac{{\mathrm{AB}}^{\prime }}{\mathrm{AB}}}+\mathrm{AC}\cdot {\displaystyle \frac{{\mathrm{AC}}^{\prime }}{\mathrm{AC}}}=\mathrm{AP}$
から
${\mathrm{AB}}^{\prime }+{\mathrm{AC}}^{\prime }=\mathrm{AP}$ となる。

以上より、$\overrightarrow{{\mathrm{AB}}^{\prime }}$を→，$\overrightarrow{{\mathrm{AC}}^{\prime }}$を→とすると、点$\mathrm{A}$，${\mathrm{B}}^{\prime }$，${\mathrm{C}}^{\prime }$，$\mathrm{P}$の位置関係は例えば図Ｆのようになる。

図Ｆより
点${\mathrm{B}}^{\prime }$は線分$\mathrm{AP}$を$1:k$に内分する点 点${\mathrm{C}}^{\prime }$は線分$\mathrm{AP}$を$k:1$に内分する点 である。

解答サ：４

$k=1$のとき、問題の図形は例えば図Ｇのような形だ。

このとき、点${\mathrm{B}}^{\prime }$と点${\mathrm{C}}^{\prime }$は一致して、線分$\mathrm{AP}$の中点になる。

図Ｇの青い三角形と緑の三角形を考えると
青い三角形は、辺$\mathrm{AP}$の垂直二等分線が頂点$\mathrm{B}$を通るので、$\mathrm{BP}=\mathrm{BA}$の二等辺三角形になる 同様に、緑の三角形も、$\mathrm{CP}=\mathrm{CA}$の二等辺三角形になる ことが分かる。

解答シ：２