$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$のとき、
$\sin x=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$
$\phantom{\sin x}={\displaystyle \frac{1}{2}}$
$\sin 2x=\sin (2\times {\displaystyle \frac{\pi }{6}})$
$\phantom{\sin 2x}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$
$\phantom{\sin 2x}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
なので、
$\sin x<\sin 2x$
である。

解答ア：0

$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$のとき、
$\sin x=\sin {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi$
$\phantom{\sin x}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\sin 2x=\sin (2\times {\displaystyle \frac{2}{3}}\pi )$
$\phantom{\sin 2x}=\sin {\displaystyle \frac{4}{3}}\pi$
$\phantom{\sin 2x}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$
なので、
$\sin x>\sin 2x$
となる。

解答イ：2

２倍角の公式より
$\sin 2x=2\sin x\cos x$
なので、
$\sin 2x-\sin x$式Ａ
は
$\sin 2x-\sin x=2\sin x\cos x-\sin x$
$\phantom{\sin 2x-\sin x}=\sin x(2\cos x-1)$式Ａ'
と変形できる。

解答ウ：２, エ：１

式Ａ$>0$ は
$\sin 2x>\sin x$
と変形できるから、
式Ａ$>0$ つまり 式Ａ'$>0$
が成り立つ範囲を求めると、それが$\sin 2x>\sin x$である範囲だ。

ということで、式Ａ'$>0$、つまり
$\sin x(2\cos x-1)>0$
となる$x$の範囲を求める。

この式が成り立つのは、赤い部分と青い部分をかけて正になるときなので、
$\{\begin{array}{l}\sin x>0\\ 2\cos x-1>0\end{array}$①
または
$\{\begin{array}{l}\sin x<0\\ 2\cos x-1<0\end{array}$②
のとき。

①②それぞれが成り立つ$x$の範囲を求める。

まず①から。

$x$の範囲は$0\leqq x\leqq 2\pi$ だけど、これを図にすると 図Ａの緑の範囲。
$\sin$が正になるのは横軸より上の部分で、図Ａのオレンジの部分（横軸は含まない）。

よって、①の
$\sin x>0$
が成り立つのは、図Ａの赤い部分の
$0<x<\pi$式Ｂ
である。

また、①の
$2\cos x-1>0$式Ｃ
は、この式を変形した
$\cos x>{\displaystyle \frac{1}{2}}$式Ｃ'
で考える。

$\cos$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より大きくなるのは、図Ｂの紫の線より右で、オレンジの部分（紫の線は含まない）。

$x$の範囲は緑の範囲なので、式Ｃ'が成り立つのは、図Ｂの赤い部分の
$0\leqq x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$，${\displaystyle \frac{5}{3}}\pi <x\leqq 2\pi$式Ｄ
だから、式Ｃが成り立つのもこの範囲だ。

①が成り立つのは 式Ｂと式Ｄの共通部分なので、
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$式Ｅ
のときである。

解答オ：３

同様に、②も解く。

$\sin$が負になるのは横軸より下の部分で、図Ｃのオレンジの部分（横軸は含まない）。

よって、②の
$\sin x<0$
が成り立つのは、図Ｃの赤い部分の
$\pi <x<2\pi$式Ｆ
である。

$2\cos x-1<0$
は、さっきと同様に、これを変形した
$\cos x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$
で考える。

$\cos$が${\displaystyle \frac{1}{2}}$より小さくなるのは、図Ｄの紫の線より左で、オレンジの部分（紫の線は含まない）。

$x$の範囲は緑の範囲なので、
$2\cos x-1<0$
が成り立つのは、図Ｄの赤い部分の
${\displaystyle \frac{\pi }{3}}<x<{\displaystyle \frac{5}{3}}\pi$式Ｇ
である。

②が成り立つのは 式Ｆと式Ｇの共通部分だから、
$\pi <x<{\displaystyle \frac{5}{3}}\pi$式Ｈ
のときだ。

解答カ：５, キ：３

ここで、いきなり$\alpha$とか$\beta$とか出てきてびっくりするけど、悩まずに問題文の通りに流されてゆけば大丈夫。

③式を自分で作る必要はないけれど、一応説明しておく。

加法定理より
$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$
だけど、これを辺々引くと

	$\sin (\alpha +\beta )$	$=$	$\cancel{\sin \alpha \cos \beta }$	$+\cos \alpha \sin \beta$
$-)$	$\sin (\alpha -\beta )$	$=$	$\cancel{\sin \alpha \cos \beta }$	$-\cos \alpha \sin \beta$
$\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )=$				$2\cos \alpha \sin \beta$

となって、③式ができる。

問題文の通りに
$\{\begin{array}{l}\alpha +\beta =4x\\ \alpha -\beta =3x\end{array}$式Ｉ
とおくと、$\sin 4x-\sin 3x$は
$\sin 4x-\sin 3x=\sin (\alpha +\beta )-\sin (\alpha -\beta )$
とかける。

この式の右辺は、③式の左辺と等しいから、
$\sin 4x-\sin 3x=2\cos \alpha \sin \beta$
と表せる。

よって、
$\sin 4x-\sin 3x>0$式Ｊ
は
$2\cos \alpha \sin \beta >0$
と書きかえられ、さらに
$\cos \alpha \sin \beta >0$
と変形できることが分かる。

この式が成り立つのは、$\cos \alpha$と$\sin \beta$をかけて正になるときなので、
$\{\begin{array}{l}\cos \alpha >0\\ \sin \beta >0\end{array}$式Ｋ1
または
$\{\begin{array}{l}\cos \alpha <0\\ \sin \beta <0\end{array}$式Ｋ2
のときだ。

さらに、式Ｉを連立方程式として解くと

であるから、式Ｋ1，式Ｋ2は
$\{\begin{array}{l}\cos {\displaystyle \frac{7}{2}}x>0\\ \sin {\displaystyle \frac{x}{2}}>0\end{array}$④
または
$\{\begin{array}{l}\cos {\displaystyle \frac{7}{2}}x<0\\ \sin {\displaystyle \frac{x}{2}}<0\end{array}$⑤
と書きかえられる。

解答ク：ａ, ケ：７

いま、
$0\leqq x\leqq \pi$
なので、${\displaystyle \frac{x}{2}}$の範囲は
$0\leqq {\displaystyle \frac{x}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
だから、$\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}$は負にはならないので、⑤は成り立たないことが分かる。
よって、④の場合だけ考えよう。
考え方は、(2)と同じだ。

④の上側の式
$\cos {\displaystyle \frac{7}{2}}x>0$④1
から。

$0\leqq x\leqq \pi$
のとき、${\displaystyle \frac{7}{2}}x$の範囲は
$0\leqq {\displaystyle \frac{7}{2}}x\leqq {\displaystyle \frac{7}{2}}\pi$
である。

この${\displaystyle \frac{7}{2}}x$の範囲を図にすると、図Ｅの緑の範囲。
また、$\cos$が正なのは、図Ｅの縦軸より右の部分で、オレンジ色の部分（縦軸は含まない）。

よって、④1の
$\cos {\displaystyle \frac{7}{2}}x>0$
が成り立つのは、図Ｅの赤い部分の
$0\leqq {\displaystyle \frac{7}{2}}x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$，${\displaystyle \frac{3}{2}}\pi <{\displaystyle \frac{7}{2}}x<{\displaystyle \frac{5}{2}}\pi$
のとき。

この各辺に${\displaystyle \frac{2}{7}}$をかけて$x$の範囲にすると、④1が成り立つのは
$0\leqq \pi <{\displaystyle \frac{\pi }{7}}$，${\displaystyle \frac{3}{7}}\pi <x<{\displaystyle \frac{5}{7}}\pi$式Ｌ
のときである。

次は、④の下側の式
$\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}>0$④2
だ。

$0\leqq x\leqq \pi$
のとき、${\displaystyle \frac{x}{2}}$の範囲は
$0\leqq {\displaystyle \frac{x}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
である。

この${\displaystyle \frac{x}{2}}$の範囲を図にすると、図Ｆの緑の範囲。
また、$\sin$が正なのは、図Ｆの横軸より上の部分で、オレンジ色の部分（横軸は含まない）。

よって、④2の
$\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}>0$
が成り立つのは、図Ｆの赤い部分の
$0<{\displaystyle \frac{x}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
のとき。

この各辺に$2$をかけて$x$の範囲にすると、④2が成り立つのは
$0<x\leqq \pi$式Ｍ
のときである。

$\sin 3x>\sin 4x>\sin 2x$
は、２つの式に分けて、連立不等式
$\sin 3x>\sin 4x$ $\sin 4x>\sin 2x$ として考えよう。

まず、
$\sin 3x>\sin 4x$
から。

(3)より、
$0\leqq x\leqq \pi$のとき、$\sin 4x>\sin 3x$であるのは
$0<\pi <{\displaystyle \frac{\pi }{7}}$，${\displaystyle \frac{3}{7}}\pi <x<{\displaystyle \frac{5}{7}}\pi$
のとき
であることが分かっている。
数直線で表すと、図Ｇの赤い部分だ。

このとき、$\sin 3x>\sin 4x$であるのは、図Ｇの青い部分の
${\displaystyle \frac{\pi }{7}}<x<{\displaystyle \frac{3}{7}}\pi$，${\displaystyle \frac{5}{7}}\pi <x<\pi$式Ｎ だと考えられる。

次は、
$\sin 4x>\sin 2x$
だ。

(2)より、
$0\leqq x\leqq 2\pi$のとき、$\sin 2x>\sin x$であるのは
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$，$\pi <x<{\displaystyle \frac{5}{3}}\pi$
のとき
であることが分かっている。

$x$を$X$とすると、これは
$0\leqq X\leqq 2\pi$のとき、$\sin 2X>\sin X$であるのは
$0<X<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$，$\pi <X<{\displaystyle \frac{5}{3}}\pi$
のとき式Ｏ
と書きかえられる。

いま考えているのは、
$0\leqq x\leqq \pi$のとき、
$\sin 4x>\sin 2x$である範囲
だけど、
$X=2x$
とおくと、これは
$0\leqq X\leqq 2\pi$のとき、
$\sin 2X>\sin X$がである範囲
となるので、式Ｏと同じだ。

よって、式Ｏより、求める範囲は
$0<X<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$，$\pi <X<{\displaystyle \frac{5}{3}}\pi$式Ｐ
であることが分かる。

これは$X$の範囲なので、$x$の範囲に変えよう。
式Ｐに$X=2x$を代入すると、
$0<2x<{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$，$\pi <2x<{\displaystyle \frac{5}{3}}\pi$
より
$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，${\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$式Ｑ となる。
これが$\sin 4x>\sin 2x$である$x$の範囲だ。

以上より、式Ｎと式Ｑの重なる範囲が、求める答えになる。
式Ｎ、つまり図Ｇの青い部分と、式Ｑを数直線にすると、図Ｈができる。
式Ｑの範囲は紫で示した。

図Ｈより、求める答えは、赤い部分の
${\displaystyle \frac{\pi }{7}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$，${\displaystyle \frac{5}{7}}\pi <x<{\displaystyle \frac{5}{6}}\pi$
であることが分かる。

解答ソ：６, タ：５, チ：６