手順１の通りに作図すると、図Ａのようになる。

図Ａの緑の直線が 円$\mathrm{O}$の接線であることを示したい。

復習

円$\mathrm{O}$と直線$\ell$が点$\mathrm{E}$で接する$\iff$点$\mathrm{E}$を通る円$\mathrm{O}$の半径が、点$\mathrm{E}$を通る直線と垂直

なので、緑の直線が円$\mathrm{O}$の接線であることを証明するためには、
$\mathrm{\angle }\mathrm{OEH}={90}^{\circ }$
であることを示せばよい。

解答ア：９, イ：０

問題を解く前に、図Ａに ぱっと見て分かることを書き込んでおこう。

他にもいろいろあるけど、とりあえずこのくらいで。
以上を図Ａに書き込むと、図Ｂができる。

図Ｂより
$\mathrm{\angle }\mathrm{OGH}+\mathrm{\angle }\mathrm{OCH}={180}^{\circ }$
なので、図Ｃのように、
４点$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{O}$は同一円周上にある ことが分かる。

解答ウ：３

復習

円に内接する四角形の内角は、その対角の外角と等しい

四角形$\mathrm{COGH}$は青い円に内接するので、復習より
$\mathrm{\angle }\mathrm{CHG}=\mathrm{\angle }\mathrm{FOG}$
である。

解答エ：４

さらに、図Ｃより
$\mathrm{\angle }\mathrm{FOG}=\mathrm{\angle }\mathrm{DEG}$
である。

解答オ：３

よって、
$\mathrm{\angle }\mathrm{CHG}=\mathrm{\angle }\mathrm{CEG}$
となるので、円周角の定理の逆より、
４点$\mathrm{C}$，$\mathrm{G}$．$\mathrm{H}$，$\mathrm{E}$は同一円周上にある といえる。

解答カ：２

この円は図Ｃの青い円なので、点$\mathrm{O}$も通る。
このとき、同じ弧に対する円周角は等しいから、
$\mathrm{\angle }\mathrm{OEH}=\mathrm{\angle }\mathrm{OCH}$
より
$\mathrm{\angle }\mathrm{OEH}={90}^{\circ }$ であることが分かる。

以上で、直線$\mathrm{EH}$は円$\mathrm{O}$の接線であることが証明できた。

もう一度、作図だ。
手順２の通りに作図すると、図Ｄのようになる。

このとき、(1)と同様に考えると 次のことが分かる。

この４点を通る円を円$\mathrm{U}$とすると、円$\mathrm{U}$は△$\mathrm{PST}$の外接円にあたる。

図Ｄに多少書き加えて図Ｅをつくった。

この図Ｅにおいて、

なので、
●$=$●
であることが分かる。

解答キ：３

よって、４点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$は同一円周上にある。

詳しく

四角形$\mathrm{PRST}$において、
●$=$●
より、$\mathrm{\angle }\mathrm{PTS}$は、対角$\mathrm{\angle }\mathrm{PRS}$の外角と等しい。
したがって、四角形$\mathrm{PRST}$は円に内接する。

４点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$を通る円は△$\mathrm{PST}$の外接円なので、円$\mathrm{U}$だ。
なので、点$\mathrm{O}$もこの円周上にある。

このとき、同じ弧に対する円周角は等しいから、
$\mathrm{\angle }\mathrm{ORT}=\mathrm{\angle }\mathrm{OPT}$
$\phantom{\mathrm{\angle }\mathrm{ORT}}={90}^{\circ }$
となるので、直線$\mathrm{RT}$は点$\mathrm{R}$で円$\mathrm{O}$と接することが分かる。

図Ｄに円$\mathrm{U}$と線分$\mathrm{OR}$，$\mathrm{RT}$を書き込むと、図Ｆになる。

図がややこしくなってきたから整理しよう。
図Ｆから必要な部分だけを取り出し、円$\mathrm{O}$の半径と$\mathrm{OT}$の値を書き込むと、図Ｇができる。

３点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$を通る円は円$\mathrm{U}$だから、点$\mathrm{T}$も通る。
図Ｇで言えば、青い円だ。

$\mathrm{\angle }\mathrm{ORT}={90}^{\circ }$
なので、$\mathrm{OT}$は青い円の直径にあたる。
問われている半径は直径の${\displaystyle \frac{1}{2}}$なので、
${\displaystyle \frac{3\sqrt{6}}{2}}$
である。

解答ク：３, ケ：６, コ：２

さらに、$\mathrm{RT}$は、△$\mathrm{ORT}$に三平方の定理を使って、

途中式

${\mathrm{RT}}^2={\mathrm{OT}}^2-{\mathrm{OR}}^2$
$=(3\sqrt{6}{)}^2-{\sqrt{5}}^2$
$=54-5$
$=49$
より

$\mathrm{RT}=7$
である。

解答サ：７