定積分 ${\displaystyle {\int }_0^{30}({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)dx}$ を計算すると、
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{30}({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)dx& ={[{\displaystyle \frac{1}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3x]}_0^{30}\\ & ={\left[x({\displaystyle \frac{x}{10}}+3)\right]}_0^{30}\\ & \mathrm{式}Ａ\\ & =30\cdot ({\displaystyle \frac{30}{10}}+3)\\ & =180\end{array}$$ となる。

解答タ：１, チ：８, ツ：０

また、不適積分
${\displaystyle \int ({\displaystyle \frac{1}{100}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}x+5)dx}$
を計算すると、$C$を積分定数として、
$$\begin{array}{rl}\int & ({\displaystyle \frac{1}{100}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}x+5)dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+5x+C\\ & ={\displaystyle \frac{1}{300}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{12}}{x}^2+5x+C\end{array}$$ である。

解答テ：３, ト：０, ナ：０, ニ：１, ヌ：２, ネ：５

問題文は長いけれど、問われているのは、単に
${\displaystyle {\int }_0^t({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)dx=400}$式Ｂ
となる$t$の値だ。
図でいうと、図Ａの緑の部分の面積が$400$になるような$t$の値を問われている。

式Ｂはそのまま積分してもいいんだけど、(1)の作業を使うと、式Ａより
${\displaystyle {\int }_0^{30}({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)dx={\left[x({\displaystyle \frac{x}{10}}+3)\right]}_0^{30}}$
なので、式Ｂの左辺は
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^t({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)dx& ={\left[x({\displaystyle \frac{x}{10}}+3)\right]}_0^t\\ & =t({\displaystyle \frac{t}{10}}+3)\end{array}$$ となる。

この値が$400$になればいいので、
$t({\displaystyle \frac{t}{10}}+3)=400$式Ｃ
より
$t(t+30)=4000$式Ｄ
とかける。

式Ｄを解くんだけど、真面目に解く必要はなくて、$t$に適当な値を代入してみた方が早い。

(1)より
${\displaystyle {\int }_0^{30}({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)dx=180}$
なので、$t=30$のとき図Ａの緑の面積は$180$だから、解答群の⓪は不適だ。

なので、正解は①～⑦のどれかなんだけど、まずはちょうど真ん中の④でやってみよう。
式Ｄの左辺の$t$に$50$を代入したものが、右辺の$4000$より
大きければ、正解は①～③のどれか 小さければ、正解は⑤～⑦のどれか であることが分かる。

ということで、式Ｄの左辺に$t=50$を代入すると、
$$\begin{array}{rl}50\cdot (50+30)& =50\cdot 80\\ & =4000\end{array}$$ となって、いきなりうっかり正解を見つけてしまった。

以上より、開花日時は２月に入ってから$50$日後である。

解答ノ：４

今度は、$f(x)$を
$f(x)=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{1}{5}}x+3(0\leqq x\leqq 30)\text{・・・①}\\ {\displaystyle \frac{1}{100}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}x+5(30\leqq x)\text{・・・②}\end{array}$
として、(i)と同様に考える。

$y=f(x)$のグラフを描くと、図Ｂができる。

図Ｂで、緑の部分の面積が$400$になるような$t$を考えるわけだ。

これを考えるために、分かることを確認しよう。

(1)より
${\displaystyle {\int }_0^{30}({\displaystyle \frac{1}{5}}x+3)dx=180}$
なので、図Ｂの黄色い部分の面積は
$180$
であることが分かっている。

また、問題文の
${\displaystyle {\int }_{30}^{40}({\displaystyle \frac{1}{100}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}x+5)dx=115}$
より、図Ｂの青い部分の面積は
$115$
だ。

さらに、図Ｃの紫の放物線は、$x=30$より左の部分で単調増加なので、
青の面積$<$オレンジの面積
だから、
${\displaystyle {\int }_{30}^{40}f(x)dx<{\int }_{40}^{50}f(x)dx}$
である。

解答ハ：０