この問題には
赤い長方形と青い長方形 それを並べて作る長方形 が出てくる。

「長方形」がかぶって面倒なので、以下の解説では
赤い長方形を「赤いタイル」 青い長方形を「青いタイル」 と書くことにする。

また、タイルを並べてつくった正方形または長方形を「四角形」と書く。

$462$と$110$を素因数分解すると、

$2$	$)$	$462$	$110$
$11$	$)$	$231$	$55$
		$21$	$5$

となる。

なので、

である。

縦が横よりも$22$長い長方形は、式を作らないといけない。

横方向に並べるタイルの数を$x$ 縦方向に並べるタイルの数を$y$ とすると、縦が横よりも$22$長い長方形を表す式は
$462x+22=110y$
となり、この両辺を$22$で割ると
$21x+1=5y$式Ｂ
と変形できる。

式Ｂが成り立つためには、左辺が$5$の倍数でなければならない。
つまり
$21x+1$
の値の1の位が
$5$または$0$
でないといけから、
$21x$
の値の1の位は
$4$または$9$
である。

これを満たす最小の自然数$x$は
$x=4$
なので、求める長方形はタイルを横に４枚並べた場合だ。

この長方形の横の長さは
$462\times 4=1848$
である。

解答ケ：１, コ：８, サ：４, シ：８

問題文中の図２の四角形の縦の長さは、
赤いタイルの縦の長さ$110$の倍数 かつ
青いタイルの縦の長さ$154$の倍数 なので、四角形の縦の長さの最小値は$110$と$154$の最小公倍数だ。

$110$と$154$の最小公倍数は、

$2$	$)$	$110$	$154$
$11$	$)$	$55$	$77$
		$5$	$7$

より
$110\times 7=770$
である。

解答ス：７, セ：７, ソ：０

さらに、すべての公倍数は最小公倍数の倍数なので、
図２の四角形の縦の長さは$770$の倍数 であることが分かる。

また、$462$と$363$の最大公約数は、

$3$	$)$	$462$	$363$
$11$	$)$	$154$	$121$
		$14$	$11$

より
$3\times 11=33$

解答タ：３, チ：３

なので、
図２の四角形の横の長さは$33$の倍数 である。

よって、図２の四角形が正方形のとき、一辺の長さは
$33$の倍数 かつ $770$の倍数 でないといけない。

$33$の倍数 かつ $770$の倍数である最小の正の整数、つまり$33$と$770$の最小公倍数は

$11$	$)$	$33$	$770$
		$3$	$70$

より
$33\times 70=2310$

解答ツ：２, テ：３, ト：１, ナ：０

なので、
図２の四角形が正方形のとき、一辺の長さは$2310$の倍数 であることが分かる。

赤いタイルを横に並べる数を$R$ 青いタイルを横に並べる数を$B$ とすると、図２の四角形の横の長さ、つまり正方形の一辺の長さは
$462R+363B$
とかける。

これが$2310$の倍数なので、$m$を整数として、
$462R+363B=2310m$式Ｃ
と表せるけど、この両辺を$33$で割ると
$14R+11B=14\cdot 5m$式Ｃ'
となる。

$14$と$11$は互いに素なので、式Ｃ'が成り立つためには、赤い部分が$14$の倍数でなければならない。
式にすると、$b$を自然数として
$B=14b$
でなければならない。

これを式Ｃ'に代入すると
$14R+11\cdot 14b=14\cdot 5m$
より
$R+11b=5m$式Ｄ
と変形できる。

この式が成り立つためには、左辺が$5$の倍数であればよい。
$R$，$b$は自然数なので、式Ｄを満たす$R$，$b$の組は、例えば
$b=1$のとき、$R=4$，$9$，$14$，$\dots$ $b=2$のとき、$R=3$，$8$，$13$，$\dots$ $⋮$
などが考えられる。

今問われているのは、正方形の辺が最小のもの。
なので、$R$，$b$は自然数のうち 出来るだけ小さい数にしたいけど、
$R$が$1$増えると 赤いタイルが$1$枚増えるから、
正方形の横の長さ、つまり一辺の長さは$462$増える $B=14b$なので、$b$が$1$増えると$B$は$14$増える。
$B$が$14$増えると 青いタイルが$14$枚増えるから、
正方形の横の長さ、つまり一辺の長さは
$365\times 14$増える ことから、$R$を小さくするよりも$b$を小さくする方が優先だ。

以上より、求める最小の正方形のときの$R$，$b$の組は
$R=4$，$b=1$式Ｅ であることが分かる。

これを式Ｄに代入して、このときの$m$は
$4+11\cdot 1=5m$
$m=3$

これを式Ｃの右辺に代入して、最小の正方形の一辺は
$2310\times 3=6930$
である。

解答ニ：６, ヌ：９, ネ：３, ノ：０

式Ｅからの別解

ちょっと計算が面倒なので別解にしたけど、考え方はこっちの方が自然かも。

式Ｅより
$R=4$ $B=14$ なので、これを式Ｃの左辺に代入すると、一辺の長さは
$462\cdot 4+363\cdot 14=6930$
である。

解答ニ：６, ヌ：９, ネ：３, ノ：０