大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 本試 数学ⅠA 第4問 解説
(1)
この問題には
赤い長方形と青い長方形
それを並べて作る長方形
が出てくる。
「長方形」がかぶって面倒なので、以下の解説では
赤い長方形を「赤いタイル」
青い長方形を「青いタイル」
と書くことにする。
また、タイルを並べてつくった正方形または長方形を「四角形」と書く。
| |||
となる。
なので、
解答ア:1, イ:1
最小公倍数は
なので、正方形のうち最小のものの1辺は
解答ウ:2, エ:3, オ:1, カ:0
最大公約数は
なので、四角形の縦と横の差の絶対値の最小値は
解答キ:2, ク:2
詳しく
とすると、四角形の縦と横の差の絶対値は
とかける。
この式は、
と変形できるけど、四角形が正方形でないとき、赤い部分の最小値は、最小の正の整数の
だ。
よって、式Aの最小値は
で、これが四角形の縦と横の差の絶対値の最小値である。
である。
縦が横よりも
横方向に並べるタイルの数を
となり、この両辺を
と変形できる。
式Bが成り立つためには、左辺が
つまり
の値の1の位が
でないといけから、
の値の1の位は
である。
これを満たす最小の自然数
なので、求める長方形はタイルを横に4枚並べた場合だ。
この長方形の横の長さは
である。
解答ケ:1, コ:8, サ:4, シ:8
(2)
問題文中の図2の四角形の縦の長さは、
赤いタイルの縦の長さ
青いタイルの縦の長さ
より
である。
解答ス:7, セ:7, ソ:0
さらに、すべての公倍数は最小公倍数の倍数なので、
図2の四角形の縦の長さは
また、
より
解答タ:3, チ:3
なので、
図2の四角形の横の長さは
よって、図2の四角形が正方形のとき、一辺の長さは
より
解答ツ:2, テ:3, ト:1, ナ:0
なので、
図2の四角形が正方形のとき、一辺の長さは
赤いタイルを横に並べる数を
とかける。
これが
と表せるけど、この両辺を
となる。
式にすると、
でなければならない。
これを式C'に代入すると
より
と変形できる。
この式が成り立つためには、左辺が
などが考えられる。
今問われているのは、正方形の辺が最小のもの。
なので、
正方形の横の長さ、つまり一辺の長さは
正方形の横の長さ、つまり一辺の長さは
以上より、求める最小の正方形のときの
これを式Dに代入して、このときの
これを式Cの右辺に代入して、最小の正方形の一辺は
である。
解答ニ:6, ヌ:9, ネ:3, ノ:0
式Eからの別解
ちょっと計算が面倒なので別解にしたけど、考え方はこっちの方が自然かも。
式Eより
である。
解答ニ:6, ヌ:9, ネ:3, ノ:0