大学入学共通テスト 2023年(令和5年) 本試 数学ⅠA 第4問 解説

(1)

この問題には
赤い長方形と青い長方形 それを並べて作る長方形 が出てくる。

「長方形」がかぶって面倒なので、以下の解説では
赤い長方形を「赤いタイル」 青い長方形を「青いタイル」 と書くことにする。

また、タイルを並べてつくった正方形または長方形を「四角形」と書く。


462110を素因数分解すると、

2)462110
11)23155
215

となる。

なので、

462110の両方を割り切る素数のうち最大のものは
11

解答ア:1, イ:1

最小公倍数は
110×21=2310
なので、正方形のうち最小のものの1辺は
2310

解答ウ:2, エ:3, オ:1, カ:0

最大公約数は
211=22
なので、四角形の縦と横の差の絶対値の最小値は
22

解答キ:2, ク:2

詳しく

{横方向に並べるタイルの数をx縦方向に並べるタイルの数をy
とすると、四角形の縦と横の差の絶対値は
|462x110y|
とかける。

この式は、462110の最大公約数の22をくくり出すと
22|21x5y|式A
と変形できるけど、四角形が正方形でないとき、赤い部分の最小値は、最小の正の整数の
1
だ。

よって、式Aの最小値は
462110の最大公約数の22
で、これが四角形の縦と横の差の絶対値の最小値である。

である。


縦が横よりも22長い長方形は、式を作らないといけない。

横方向に並べるタイルの数をx 縦方向に並べるタイルの数をy とすると、縦が横よりも22長い長方形を表す式は
462x+22=110y
となり、この両辺を22で割ると
21x+1=5y式B
と変形できる。

式Bが成り立つためには、左辺が5の倍数でなければならない。
つまり
21x+1
の値の1の位が
5または0
でないといけから、
21x
の値の1の位は
4または9
である。

これを満たす最小の自然数x
x=4
なので、求める長方形はタイルを横に4枚並べた場合だ。

この長方形の横の長さは
462×4=1848
である。

解答ケ:1, コ:8, サ:4, シ:8

(2)

問題文中の図2の四角形の縦の長さは、
赤いタイルの縦の長さ110の倍数 かつ
青いタイルの縦の長さ154の倍数 なので、四角形の縦の長さの最小値は110154の最小公倍数だ。

110154の最小公倍数は、

2)110154
11)5577
57

より
110×7=770
である。

解答ス:7, セ:7, ソ:0

さらに、すべての公倍数は最小公倍数の倍数なので、
図2の四角形の縦の長さは770の倍数 であることが分かる。


また、462363の最大公約数は、

3)462363
11)154121
1411

より
3×11=33

解答タ:3, チ:3

なので、
図2の四角形の横の長さは33の倍数 である。

よって、図2の四角形が正方形のとき、一辺の長さは
33の倍数 かつ 770の倍数 でないといけない。

33の倍数 かつ 770の倍数である最小の正の整数、つまり33770の最小公倍数は

11)33770
370

より
33×70=2310

解答ツ:2, テ:3, ト:1, ナ:0

なので、
図2の四角形が正方形のとき、一辺の長さは2310の倍数 であることが分かる。


赤いタイルを横に並べる数をR 青いタイルを横に並べる数をB とすると、図2の四角形の横の長さ、つまり正方形の一辺の長さは
462R+363B
とかける。

これが2310の倍数なので、mを整数として、
462R+363B=2310m式C
と表せるけど、この両辺を33で割ると
14R+11B=145m式C'
となる。

1411は互いに素なので、式C'が成り立つためには、赤い部分が14の倍数でなければならない。
式にすると、bを自然数として
B=14b
でなければならない。

これを式C'に代入すると
14R+1114b=145m
より
R+11b=5m式D
と変形できる。

この式が成り立つためには、左辺が5の倍数であればよい。
Rbは自然数なので、式Dを満たすRbの組は、例えば
b=1のとき、R=4914 b=2のとき、R=3813
などが考えられる。


今問われているのは、正方形の辺が最小のもの。
なので、Rbは自然数のうち 出来るだけ小さい数にしたいけど、
R1増えると 赤いタイルが1枚増えるから、
正方形の横の長さ、つまり一辺の長さは462増える
B=14bなので、b1増えるとB14増える。
B14増えると 青いタイルが14枚増えるから、
正方形の横の長さ、つまり一辺の長さは
365×14増える
ことから、Rを小さくするよりもbを小さくする方が優先だ。

以上より、求める最小の正方形のときのRbの組は
R=4b=1式E であることが分かる。

これを式Dに代入して、このときのm
4+111=5m
m=3

これを式Cの右辺に代入して、最小の正方形の一辺は
2310×3=6930
である。

解答ニ:6, ヌ:9, ネ:3, ノ:0

式Eからの別解

ちょっと計算が面倒なので別解にしたけど、考え方はこっちの方が自然かも。

式Eより
R=4 B=14 なので、これを式Cの左辺に代入すると、一辺の長さは
4624+36314=6930
である。

解答ニ:6, ヌ:9, ネ:3, ノ:0