$(x-10{)}^2+(y-5{)}^2=25$
$\phantom{(x-10{)}^2+(y-5{)}^2}=5^2$式Ａ

は、 中心$(10,5)$，半径$5$の円の式 である。

解答ア：１, イ：０, ウ：５, エ：５

問題文にしたがって、
$\{\begin{array}{l}\text{点}\mathrm{P}\text{の座標を}(s,t)\\ \text{点}\mathrm{Q}\text{の座標を}(x,y)\end{array}$
とおく。

アドバイス

点$\mathrm{Q}$の軌跡を求めるので、点$\mathrm{Q}$の座標を$(x,y)$とおく。
このように、軌跡を求める点を必ず$(x,y)$とする。
ほかの点、例えばこの問題であれば点$\mathrm{P}$を$(x,y)$としたりすると、あとで大混乱する。

ここで、

点$\mathrm{P}$は$C_1$上にあるので、式Ａに$(s,t)$を代入して
$(s-10{)}^2+(t-5{)}^2=5^2$式Ｃ
とかける。

以上より、式Ｃに式Ｂ'を代入すると、$x$と$y$の式
${({\displaystyle \frac{5}{2}}x-10)}^2+{({\displaystyle \frac{5}{2}}y-5)}^2=5^2$
ができる。

この式の両辺に${\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2$をかけると、

途中式

${\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2{({\displaystyle \frac{5}{2}}x-10)}^2+{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2{({\displaystyle \frac{5}{2}}y-5)}^2$
$={\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^2\cdot 5^2$
${(\cancel{{\displaystyle \frac{2}{5}}}\cdot \cancel{{\displaystyle \frac{5}{2}}}x-{\displaystyle \frac{2}{\cancel{5}}}\cdot {\cancel{10}}^2)}^2$
$+{(\cancel{{\displaystyle \frac{2}{5}}}\cdot \cancel{{\displaystyle \frac{5}{2}}}y-{\displaystyle \frac{2}{\cancel{5}}}\cdot \cancel{5})}^2={\displaystyle \frac{2^2}{\cancel{5^2}}}\cdot \cancel{5^2}$

$(x-4{)}^2+(y-2{)}^2=2^2$①
となる。

解答ケ：４, コ：２, サ：２

①式の円を$C_2$とすると、点$\mathrm{Q}$は$C_2$上にある。
また、$C_2$上のすべての点は条件を満たす。
したがって、点$\mathrm{Q}$の軌跡は$C_2$である。

(1)の作業を振り返ってみると、
線分$\mathrm{OP}$を$2:3$に内分する点$\mathrm{Q}$の軌跡は、
中心が、$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点 半径が、円$C_1$の半径の${\displaystyle \frac{2}{2+3}}$倍 である円
だった。

このことから、
線分$\mathrm{OP}$を$m:n$に内分する点$\mathrm{R}$の軌跡は、
中心が、$\mathrm{OA}$を$m:n$に内分する点 半径が、円$C_1$の半径の${\displaystyle \frac{m}{m+n}}$倍 である円
だと予想できる。

解答ス：２, セ：４

余談

これは予想だから本当は証明しないといけないけど、問題の流れと関係がないので ここでは省略する。

次は、三角形の重心の軌跡だ。

まず、三角形の重心について復習すると、

復習

図のように、三角形の３本の中線は１点で交わる。この点を三角形の重心という。
重心は各中線をそれぞれ$1:2$に内分する。

だった。
これを頭において、問題を解く。

問題３を図にすると、図Ｂができる。

復習より、重心$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{MP}$を$1:2$に内分する。

解答ソ：０

円$C_3$の中心を点$\mathrm{C}$とすると、(2)の考え方から、
線分$\mathrm{MP}$を$1:2$に内分する点$\mathrm{G}$の軌跡は、
中心が、$\mathrm{MC}$を$1:2$に内分する点 半径が、円$C_1$の半径の${\displaystyle \frac{1}{1+2}}$倍 である円
だと予想できる。

ここで、
点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{DE}$の中点なので、座標は
${\displaystyle \frac{(1,6)+(3,2)}{2}}=(2,4)$ 円$C_3$の式から、円$C_3$の
中心$\mathrm{C}$は $(5,7)$ 半径は $3$ だ。

よって、点$\mathrm{G}$の軌跡は、

の円と考えられる。