$k$が正の定数のときの
$f(x)=x^2(k-x)$式Ａ
を考える。

まず、
$y=f(x)$
のグラフの形を考えよう。
この問題はグラフなしでも解けるけど、可能なときはグラフを描いて、目で見ながら考えることをおすすめする。

式Ａより、$f(x)=0$になるのは
$x=0$，$k$式Ｂ
のときなので、$y=f(x)$のグラフと$x$軸との共有点は
$(0,0)$，$(k,0)$
だ。

解答ア：４

この２つの共有点について、式Ｂの$x=0$は重解，$x=k$は重解じゃないので
$(0,0)$は接点，$(k,0)$は交点 であることが分かる。

また、式Ａを展開すると
$f(x)=-x^3+k{x}^2$式Ａ'
なので、$x^3$の係数は負である。

復習

三次関数のグラフは、

$x^3$の係数が正のとき、全体として右上がりの、右図のような形に、

$x^3$の係数が負のとき、全体として右下がりの、右図のような形になる。

以上より、$y=f(x)$のグラフは、
原点で$x$軸に接する
$(k,0)$で$x$軸と交わる
全体として右下がり の三次関数なので、図Ａのようになる。

さらに、式Ａ'を微分すると、$f(x)$の導関数$f^{\prime }(x)$は
$f^{\prime }(x)=-3x^2+2kx$
である。

解答イ：－, ウ：３, エ：２

これはさらに
$f^{\prime }(x)=(-3x+2k)x$
と変形できるから、
$f^{\prime }(x)=0$
となる$x$は
$x=0$，${\displaystyle \frac{2}{3}}k$
だ。

よって、
図Ａの赤い点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{2}{3}}k$ $y$座標は、これを式Ａに代入して、
${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}k\right)}^2(k-{\displaystyle \frac{2}{3}}k)={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2({\displaystyle \frac{3}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})k^3$

途中式

$={\displaystyle \frac{2^2}{3^2}}\cdot {\displaystyle \frac{3-2}{3}}{k}^3$
$={\displaystyle \frac{2^2}{3^3}}{k}^3$

$={\displaystyle \frac{4}{27}}{k}^3$
である。

以上より、関数$f(x)$は
$x=0$のとき 極小値$0$ $x={\displaystyle \frac{2}{3}}k$のとき 極大値${\displaystyle \frac{4}{27}}{k}^3$ をとることが分かる。

解答オ：０, カ：０, キ：３, ク：９

また、図Ａより、$0<x<k$において$f(x)$が最大になるのは、赤い点の
$x={\displaystyle \frac{2}{3}}k$
のときなので、最大値は極大値と同じ
${\displaystyle \frac{4}{27}}{k}^3$
だ。

問題文中の図を真横から見ると、図Ｂのような状態だ。

図Ｂで、円柱の高さを$h$とすると、緑の三角形の高さは
$15-h$
とかける。

赤い三角形と緑の三角形は相似なので、
$9:15=x:15-h$
より

途中式

$9(15-h)=15x$
$3(15-h)=5x$
$15-h={\displaystyle \frac{5}{3}}x$

$h=15-{\displaystyle \frac{5}{3}}x$
となる。

よって、円柱の体積を$y$とすると、
$y=$底面積$\times$高さ

途中式

$\phantom{y}=\pi x^2\times (15-{\displaystyle \frac{5}{3}}x)$
$\phantom{y}=\pi x^2\times ({\displaystyle \frac{15\cdot 3}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{3}}x)$

$\phantom{y}={\displaystyle \frac{5}{3}}\pi x^2(9-x)(0<x<9)$式Ｃ
と表せる。

解答ケ：５, コ：３, サ：９

ここで、(1)での作業を振り返ってみると、
$f(x)=x^2(k-x)$
の$0<x<k$における最大値は
$x={\displaystyle \frac{2}{3}}k$のとき${\displaystyle \frac{4}{27}}{k}^3$
だった。

このことから、
$y=x^2(9-x)$式Ｄ
の$0<x<9$における最大値は
$x={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 9$
$\phantom{x}=6$式Ｅ
のとき
${\displaystyle \frac{4}{27}}\cdot 9^3=4\cdot 9\cdot 3$式Ｆ
であることが分かる。

また、式Ｄのグラフを$y$軸方向に${\displaystyle \frac{5}{3}}\pi$拡大すると、式Ｃのグラフができる。（図Ｃ）

以上より、式Cの$y$、つまり円柱の体積$V$が

である。