上の解法だと一瞬で解けるけど、復習の内容を忘れていれば仕方がない。
次のように解くことになる。

${\log }_{a}b=x$
の右辺に$1$をかける。
$1$とは、${\log }_{a}a$のこと。
$1$をかけても右辺の値は変わらないから、
${\log }_{a}b=x{\log }_{a}a$
と表せる。

これを変形して、
${\log }_{a}b={\log }_a{a}^x$
より
$b=a^x$
となる。

(ii)の作業を整理すると
${\log }_{2}3$が有理数なら、
$p$，$q$を自然数として$2^p=3^q$とかける。 $2$と$3$の一方は偶数，もう一方は奇数なので、
$2^p\ne 3^q$である。 よって、${\log }_{2}3$は無理数である。 だった。

$a$，$b$を２以上の自然数として、(ii)の作業の${\log }_{2}3$を${\log }_{a}b$に書きかえると、
${\log }_{a}b$が有理数なら、
$p$，$q$を自然数として$a^p=b^q$とかける。 $a$と$b$の一方は偶数，もう一方は奇数なので、
$a^p\ne b^q$である。 よって、${\log }_{a}b$は無理数である。 となる。

以上より、$a$と$b$の一方が偶数，もう一方が奇数のとき、${\log }_{a}b$は必ず無理数となる。

解答ヌ：５

せっかくだからもうひとつ解き方をのせよう。

(i)で考えたように
${\log }_{5}25$は有理数 だから、解答群のうち ②～④は見た瞬間に誤りだと分かる。
正解は⓪，①，⑤のうちのどれかだ。

⓪，①の$a$や$b$が偶数のときを考えると、 例えば$a=2$，$b=4$のとき、
${\log }_{2}4=2$
となって${\log }_{a}b$は有理数 である。
なので、⓪，①も不適。

以上より、消去法で、正しい選択肢は
⑤
だ。

解答ヌ：５