最初に、二次関数の式の復習だ。

放物線$C_1$は点${\mathrm{P}}_0$と点$\mathrm{M}$を通るけど、この２点とも、$y$座標は$3$だ。
なので、$C_1$の軸は${\mathrm{P}}_0$と$\mathrm{M}$の真ん中を通るから、軸、つまり頂点の$x$座標は
$x={\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}_0\text{の}x\text{座標}+\mathrm{M}\text{の}x\text{座標}}{2}}$
$\phantom{x}=2$
である。

これから$C_1$の式を求めるんだけど、頂点の$x$座標が分かっているから、復習の式Ａを使う。

$x^2$の係数を$a$とすると、頂点の$x$座標は$2$なので、$C_1$の式は
$y=a(x-2{)}^2+q$
とかける。
これを展開すると
$y=a{x}^2-4ax+4a+q$
となる。

この式の赤い部分は$y$切片（グラフと$y$軸との交点の$y$座標）なので、$3$になるはず。

よって、$C_1$の式は
$y=a{x}^2-4ax+3$式Ｂ
と表せる。

解答キ：４, ク：３

また、プロ選手の「シュートの高さ」は$C_1$の頂点の$y$座標なので、式Ｂに$x=2$を代入して、
$a\cdot 2^2-4a\cdot 2+3=4a-2\cdot 4a+3$
$\phantom{a\cdot 2^2-4a\cdot 2+3}=-4a+3$
である。

解答ケ：４, コ：３

問題文中の$C_2$の式より、$C_2$の頂点の$x$座標は
$2-{\displaystyle \frac{1}{8p}}$
であることが分かる。

ここで、$p$は上に凸の放物線の式の$x^2$の係数なので、
$p<0$
だ。

よって、
${\displaystyle \frac{1}{8p}}<0$
より
$0<-{\displaystyle \frac{1}{8p}}$
だから、
$2<2-{\displaystyle \frac{1}{8p}}$
といえる。

以上より、
$C_1$の頂点の$x$座標 $<C_2$の頂点の$x$座標 なので、
「ボールが最も高くなるときの地上の位置」は、プロ選手よりも花子さんの方が$\mathrm{M}$の$x$座標に近い ことが分かる。

解答サ：２

$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}$
より、点$\mathrm{D}$の
$x$座標は、点$\mathrm{A}$と同じ
$3.8={\displaystyle \frac{19}{5}}$ $y$座標は、点$\mathrm{A}$の$y$座標に${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}$をたして
$3+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}$ となる。

$C_1$が点$\mathrm{D}$を通るときを考える。

式Ｂに$({\displaystyle \frac{19}{5}},3+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}})$を代入すると、
$3+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}=a{\left({\displaystyle \frac{19}{5}}\right)}^2-4a\cdot {\displaystyle \frac{19}{5}}+3$
とかける。

これを解くと、
${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}=a\cdot {\displaystyle \frac{19}{5}}\cdot ({\displaystyle \frac{19}{5}}-4)$

途中式

$\phantom{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}}=a\cdot {\displaystyle \frac{19}{5}}\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{5}})$
$\phantom{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}}=-{\displaystyle \frac{19}{5^2}}a$
$a=-{\displaystyle \frac{5^2}{19}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{15}}$
$\phantom{a}=-{\displaystyle \frac{5}{19}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$

より
$a=-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{57}}$式Ｃ
となる。

このときの$C_1$の式は、式Ｂを変形した
$y=a(x^2-4x)+3$
に式Ｃを代入した
$y=-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{57}}(x^2-4x)+3$
である。

解答シ：５, ス：３, セ：５, ソ：７

最後は、プロ選手と花子さんのシュートの高さの比較だ。
花子さんのシュートの高さは問題文に載っているので、プロ選手だけ考えよう。

ケコで考えたように、プロ選手のシュートの高さは
$-4a+3$
だった。

これに式Ｃを代入すると
$-4\cdot (-{\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{57}})+3={\displaystyle \frac{20\sqrt{3}}{57}}+3$
となる。

この式の赤い部分は、$\sqrt{3}\doteqdot 1.73$なので
${\displaystyle \frac{20\times 1.73}{57}}={\displaystyle \frac{34.6}{57}}$
$=0.607\dots$
くらいの値だ。

よって、プロ選手のシュートの高さは
$0.6+3=3.6$
くらいである。

これを花子さんのシュートの高さの$3.4$と比較すると、
プロ選手のシュートの高さの方が高い ことが分かる。

解答タ：０

高さの差は
$3.6-3.4=0.2$
なので、ボール約１個分だ。

解答チ：０