また、問題文の最初にある枠で囲んだ説明の中に
「（血中濃度は）$T$時間が経過すると${\displaystyle \frac{1}{2}}$倍になる」
という説明とともに
「$T=12$である」
と書かれている。

いま、薬を飲むのは前回の服用から$12$時間後。
$12$時間で血中濃度は${\displaystyle \frac{1}{2}}$になるから、$n+1$回目に薬を飲む直前の血中濃度は、$n$回目の服用直後の${\displaystyle \frac{1}{2}}$なので、
${\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n}$式Ａ
とかける。

薬Dを飲むと血中濃度は$P$、つまり$5$上昇するので、式Ａに$5$をたして、$n+1$回目に薬を飲んだ後の血中濃度$a_{n+1}$は
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n+5}$式Ｂ
である。

解答イ：１, ウ：２, エ：５

で、この漸化式から、２通りの方法で一般項を求めよという。

まず【考え方１】から。
いつもの方法だ。（詳しくはこのページ参照）

式Ｂの小さい文字を全部消すと
$a={\displaystyle \frac{1}{2}a+5}$
より
$2a=a+10$
$a=10$
となる。

この$10$を式Ｂの両辺から引いて、
$a_{n+1}-10={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_n-5}$
$a_{n+1}-10$${\displaystyle =\frac{1}{2}(a_n-10)}$

ここで、
$a_n-10=p_n$式Ｃ
とおくと、上の式は
$p_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{p}_n}$
とかけるから、$p_n$、つまり$a_n-10$は
公比が${\displaystyle \frac{1}{2}}$
の等比数列である。

解答オ：１, カ：０, キ：１, ク：２

次に【考え方２】だけど、どっちかというとマイナーな方法かも。

式Ｂの$n$に$n+1$を代入して、
$a_{n+2}={\displaystyle \frac{1}{2}{a}_{n+1}+5}$
これから式Ｂを辺々引くと、

となる。

ここで、$\{q_n\}$を$\{a_n\}$の階差数列として
$a_{n+1}-a_n=q_n$
とおくと、上の引き算の結果は
$q_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}{q}_n}$
とかける。

よって、$\{q_n\}$は
公比が${\displaystyle \frac{1}{2}}$
の等比数列になる。

解答ケ：１, コ：２

$\{a_n\}$の一般項はすでに求めたので、この先の計算をする必要はないんだけど、せっかくだから書いておく。

$q_1=a_2-a_1$
だけど、式Ｂより、$a_2$は
$a_2={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 5+5}$
$a_2$${\displaystyle =\frac{5}{2}+5}$
なので、$q_1$は
$q_1={\displaystyle \frac{5}{2}+5-5}$
$q_1$${\displaystyle =\frac{5}{2}}$
である。

よって、$\{q_n\}$は
初項が${\displaystyle \frac{5}{2}}$ 公比が${\displaystyle \frac{1}{2}}$ の等比数列だから、一般項$q_n$は
$q_n={\displaystyle \frac{5}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}$
とかける。

$\{q_n\}$は$\{a_n\}$の階差数列なので、
$a_{n+1}-a_n=q_n$
より
$a_{n+1}=a_n+q_n$
$a_{n+1}$${\displaystyle =a_n+\frac{5}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}$
である。

これを$\{a_n\}$の漸化式（式Ｂ）に代入すると
$a_n+{\displaystyle \frac{5}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{2}{a}_n+5}$
ができる。

これを計算して、$a_n$は
${\displaystyle 2a_n+5{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=a_n+10}$
${\displaystyle a_n=10-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}$
となる。

解答サ：１, シ：０, ス：５, セ：１, ソ：２

(2)は、(1)で求めた一般項$a_n$を使って、薬Dを飲み続けたときの血中濃度の範囲を考える問題。

まず、血中濃度の上限から。

薬Dの血中濃度が最も高くなるのは服用直後で、そのときの濃度が$a_n$だけど、(1)より、
${\displaystyle a_n=10-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}$
なので、$a_n$は$10$を超えない。

つまり、血中濃度は$10$を超えない。

いま、$L=40$なので、
血中濃度は$L$を超えない ことが分かる。

次は、血中濃度の下限だ。
薬Dの血中濃度が最も低くなるのは服用直前なので、そのときの濃度を考えよう。

$n$回目の服用直前の血中濃度は
${\displaystyle a_n-P=10-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}-5}$
$a_n-P$$=5-5$${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}}$式Ｄ
と表せる。

この式の赤い部分を考える。
$n=1$のときの$a_1-P$は$1$回目の服用前、つまり薬Dを飲み始める前なので、考えない。

$2\leqq n$のとき、式Ｄの赤い部分は
$n=2$のとき、${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}}$式Ｅ
$n=3$のとき、${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}}$
$n=4$のとき、${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}}$
$n=5$のとき、${\displaystyle {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}}$
       $⋮$
と、どんどん小さくなる。
つまり、$0$に近づいてゆく。

よって、$a_n-P$はどんどん$5$に近づいてゆく。

$a_n-P$が最小になるのは、式Ｄの赤い部分が最大のとき。
これは式Ｅのときで、このときの$a_n-P$は
${\displaystyle a_2-P=5-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^1}$
$a_2-P$${\displaystyle =\frac{5}{2}}$
である。

なので、血中濃度は${\displaystyle \frac{5}{2}}$を下回らない。

いま、$M=2$なので、
血中濃度は$M$を下回らない ことが分かる。

薬Dの服用する間隔を$24$時間に変える。

(1)とほぼ同じ作業をするんだけど、今回は一部文字のままで計算しよう。

$b_1$は$P$と等しいので、
$b_1=P$
である。

血中濃度は$T=12$時間で${\displaystyle \frac{1}{2}}$になるから、$24$時間経つと
${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}}$
になる。
よって、$n+1$回目に薬を飲む直前の血中濃度は$n$回目の服用後の${\displaystyle \frac{1}{4}}$になるから
${\displaystyle \frac{1}{4}{b}_n}$式Ｆ
とかける。

薬Dを飲むと血中濃度は$P$上昇するので、式Ｆに$P$をたして、$n+1$回目に薬を飲んだ直後の血中濃度$b_{n+1}$は
$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}{b}_n+P}$式Ｇ
と表せる。

式Ｇの小さい文字を全部消すと
$b={\displaystyle \frac{1}{4}b+P}$
より
$4b=b+4P$
$b={\displaystyle \frac{4P}{3}}$
となる。

この${\displaystyle \frac{4P}{3}}$を式Ｇの両辺から引くと、
$b_{n+1}-{\displaystyle \frac{4P}{3}=\frac{1}{4}{b}_n+P-\frac{4P}{3}}$
$b_{n+1}-{\displaystyle \frac{4P}{3}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}{b}_n-\frac{P}{3}}$
$b_{n+1}-{\displaystyle \frac{4P}{3}}$${\displaystyle =\frac{1}{4}(b_n-\frac{4P}{3})}$式Ｇ'
である。

ここで、
$b_n-{\displaystyle \frac{4P}{3}=r_n}$式Ｈ
とおくと、式Ｇ'は
$r_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{4}{r}_n}$
とかける。

また、$b_1=P$なので、
$r_1=P-{\displaystyle \frac{4P}{3}}$
$r_1$${\displaystyle =-\frac{P}{3}}$
である。

よって、$\{r_n\}$は、
初項が$-{\displaystyle \frac{P}{3}}$ 公比が${\displaystyle \frac{1}{4}}$ の等比数列なので、一般項$r_n$は
$r_n=-{\displaystyle \frac{P}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}}$
となる。

これを式Ｈに代入して、$\{b_n\}$の一般項$b_n$は、
$b_n-{\displaystyle \frac{4P}{3}=-\frac{P}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}}$
より
$b_n={\displaystyle \frac{4P}{3}-\frac{P}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}}$式Ｉ
である。

よって、問題文中の$b_{n+1}-P$は、
$b_{n+1}-P={\displaystyle \frac{4P}{3}-\frac{P}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n-P}$
なので、
$b_{n+1}-P={\displaystyle \frac{P}{3}-\frac{P}{3}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n}$
$b_{n+1}-P$${\displaystyle =\frac{P}{3}\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}\}}$
である。

また、$a_{2n+1}-P$は、式Ｄの$n$に$2n+1$を代入して、
$a_{2n+1}-P=5-5{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}$
$a_{2n+1}-P=5\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}\}$
とかける。

以上より、
${\displaystyle \frac{b_{n+1}-P}{a_{2n+1}-P}=\frac{\frac{P}{3}\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}\}}{5\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}\}}}$
                $={\displaystyle \frac{\frac{P}{3}}{5}}$
                $={\displaystyle \frac{P}{3\cdot 5}}$式Ｊ
となる。

さらに、薬Dを$12$時間ごとに$1$錠ずつ服用したときと、$24$時間ごとに$k$錠ずつ服用したときで、$24n$時間ごとの服用直前の血中濃度を等しくしたい。
問題文より、$k$錠ずつ服用すると、服用後の血中濃度の上昇が$1$錠のときの$k$倍の$kP$になる、

なので、式Ｊの$P$を$kP$にかえた
${\displaystyle \frac{kP}{3\cdot 5}}$式Ｊ'
が$1$になればよい。

$P$は$5$で変わらないから、式Ｊ'より
${\displaystyle \frac{5k}{3\cdot 5}=1}$
なので、
$k=3$
である。

解答テ：３