問題中のソフトを再現してみた。
領域内でドラッグして四面体を回転させて、イメージをつかんでみよう。

図Ａの緑の四角形が正方形であることを証明する問題だ。
まず、４つの辺の長さが等しいことを証明する。

図の固定

まず、面$\mathrm{ACD}$について考える。
点$\mathrm{F}$，点$\mathrm{G}$はそれぞれ辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AD}$の中点なので、中点連結定理より、
${\displaystyle \mathrm{FG}=\frac{1}{2}\mathrm{CD}}$
とかける。

同様に、
面$\mathrm{BCD}$について考えれば、
${\displaystyle \mathrm{HJ}=\frac{1}{2}\mathrm{CD}}$ 面$\mathrm{CAB}$について考えれば、
${\displaystyle \mathrm{FH}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}}$ 面$\mathrm{DAB}$について考えれば、
${\displaystyle \mathrm{GJ}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}}$ であることが分かる。。

$\mathrm{ABCD}$は正四面体なので、四面体のすべての辺の長さは等しい。
よって、$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$なので、
$\mathrm{FG}=\mathrm{HJ}=\mathrm{FH}=\mathrm{GJ}$
である。

以上より、図Ａの緑の四角形の４つの辺の長さは等しい。

解答ア：３, イ：３

４辺の長さが等しい四角形は、ひし形である。
ひし形のうち、対角線の長さが等しい（四つの角が等しいでもいいけど）性質を持つものが正方形だ。

よって、正方形の集合は、ひし形の集合に含まれる。

ここで、集合と必要条件・十分条件の復習をしよう。

次に
$\mathrm{FJ}=\mathrm{GH}$
つまり 図Ｅの２本の赤い線が等しいことを証明したい。

図の固定

そのために、
$\mathrm{△}\mathrm{FJC}\equiv \mathrm{△}\mathrm{GHD}$
つまり 図Ｅで
黄色い三角形 $\equiv$ 青い三角形
を証明したい。

だけど、この証明は難しいので、他の三角形の組に着目するという。

で、その着目する三角形を問われているんだけど、
問題にわざわざ$\mathrm{△}\mathrm{FJC}\equiv \mathrm{△}\mathrm{GHD}$を証明したいと書いている ので、きっと△$\mathrm{FJC}$や△$\mathrm{GHD}$を含む三角形だ。

選択肢のうち、△$\mathrm{FJC}$や△$\mathrm{GHD}$を含むのは、
②$\mathrm{AJC}$
③$\mathrm{AHD}$
のふたつで、図Ｆの黄色い三角形と青い三角形だ。
見るからに合同っぽいし、最終的に証明したい赤い線も含んでいる。

解答エ：２, オ：３ （順不同）

エオより、△$\mathrm{AJC}$と△$\mathrm{AHD}$を使って、$\mathrm{FJ}=\mathrm{GH}$を証明する。

図の固定

△$\mathrm{AJC}$（図Ｆの黄色い三角形）について、
辺$\mathrm{AJ}$は、四面体の面$\mathrm{ABD}$の中線 辺$\mathrm{CJ}$は、四面体の面$\mathrm{CBD}$の中線 である。

また、△$\mathrm{AHD}$（図Ｆの青い三角形）について、
辺$\mathrm{AH}$は、四面体の面$\mathrm{ABC}$の中線 辺$\mathrm{DH}$は、四面体の面$\mathrm{CBD}$の中線 である。

ここで、四面体$\mathrm{ABCD}$のすべての面は合同な正三角形なので、
$\mathrm{AJ}=\mathrm{CJ}=\mathrm{AH}=\mathrm{DE}$
$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$
である。

以上より、３辺の長さが等しいので、
$\mathrm{△}\mathrm{AJC}\equiv \mathrm{△}\mathrm{AHD}$ であり、
△$\mathrm{AJC}$は$\mathrm{AJ}=\mathrm{CJ}$の、△$\mathrm{AHD}$は$\mathrm{AH}=\mathrm{DE}$の二等辺三角形である。

解答カ：１

また、$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$は辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AD}$の中点だから、$\mathrm{J}$，$\mathrm{H}$を頂角としたときの△$\mathrm{AJC}$，△$\mathrm{AHD}$の高さにあたる。
合同な三角形の高さなので、
$\mathrm{FJ}=\mathrm{GH}$である。

次は、$\mathrm{EI}$⊥$\mathrm{CD}$を証明する問題。

問題文中の(a)を詳しく書くと、次のようになる。
△$\mathrm{ACD}$，△$\mathrm{BCD}$は正三角形なので、頂角から底辺の中点に引いた直線は、底辺の垂直二等分線である。
よって、
$\mathrm{CD}$⊥$\mathrm{AI}$ $\mathrm{CD}$⊥$\mathrm{BI}$ である。

これを使って(b)を証明する。
いつものように図を描いて見ながら考えよう。

図の固定

図Ｇでは、４点$\mathrm{ABEI}$を通る平面を$\alpha$として 茶色で表した。

図Ｇを見て気づくのは、$\mathrm{AI}$（青い線）も$\mathrm{BI}$（緑の線）も$\mathrm{EI}$（オレンジの線）も平面$\alpha$上にあること。
なので、平面と直線の垂直を使う方向で考えてみよう。

まず、平面と直線の垂直の復習から。

よって、
復習の(Ａ)より、図Ｇにおいて、
赤⊥青 $\cap$ 赤⊥緑 $\Rightarrow$ 赤⊥ $\alpha$ 復習の(Ｂ)より、図Ｇにおいて、
赤⊥ $\alpha \Rightarrow$ 赤⊥オレンジ となるので、(a)から(b)が証明できる。

以上から、選択肢のうちで、復習の(Ａ)，(Ｂ)と同じ内容の
①，②
が答えだ。

解答キ：１，２

太郎さんの条件、花子さんの条件のそれぞれについて考えてみよう。

太郎さんの条件

$\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$のとき、△$\mathrm{ACD}$は二等辺三角形になる。
二等辺三角形の頂角から底辺の中点に引いた直線は、底辺の垂直二等分線なので、
$\mathrm{AI}$⊥$\mathrm{CD}$
である。

同様に、
$\mathrm{BI}$⊥$\mathrm{CD}$
といえる。

以上より、太郎さんの条件を満たす四面体は、問題文中の下線部(a)の性質を持つ。
よって、(3)より、問題文中の下線部(b)は常に成り立つ。

花子さんの条件

$\mathrm{BC}=\mathrm{AD}$，$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$のとき、例えば図Ｈのような四面体が考えられる。

図の固定

図中の同じ色の辺は等しい。

△$\mathrm{ABC}$と△$\mathrm{BAD}$において、
$\mathrm{AB}$は共通
$\mathrm{BC}=\mathrm{AD}$
$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$
より、３辺が等しいので
$\mathrm{△}\mathrm{ABC}\equiv \mathrm{△}\mathrm{BAD}$
である。

なので、
$\mathrm{EC}=\mathrm{ED}$
といえる。

△$\mathrm{ECD}$（図Ｈの黄色い三角形）において、
$\mathrm{EC}=\mathrm{ED}$
より、△$\mathrm{ECD}$は二等辺三角形なので、
$\mathrm{EI}$⊥$\mathrm{CD}$
である。

よって、問題文中の下線部(b)は常に成り立つ。

以上より、問題文中の下線部(b)は、太郎さんの条件でも花子さんの条件でも常に成り立つ。
なので、正しい選択肢は
⓪
である。

解答ク：０