大学入学共通テスト 2017年(平成29年) 試行調査 数学ⅠＡ 第１問 [1] 解説

はじめに

問題中のグラフ表示ソフトを再現してみた。
スライダーやテンキーで $a$，$b$，$c$ の値を変えてみて、イメージをつかんでみよう。

下のグラフ表示ソフトは、InternetExplorerでは動作しません。
← ／ △
○ a= ┼
a=
－ ＋
b=
－ ＋
c=
－ ＋
ｘ ｙ a^2
＜ ＞ π
7 8 9
4 5 6
1 2 3
0 ＋ 母 子
1A_1_1_01

(1)

問題文は長いけど、質問自体は定期テストなんかでよく見るやつだ。
このタイプの問題は決まった解き方があった。

問題文中の図１より、このときの二次関数のグラフは、
下に凸条件Ａ 放物線の軸が負条件Ｂ $y$切片（$y$軸との交点の$y$座標）が正条件Ｃ $x$軸と２点で交わる条件Ｄ である。

この３つを、ひとつずつ考えてゆこう。

条件Ａ

まず、グラフは下に凸なので、
$0 \lt a$式Ａ
である。

条件Ｂ

放物線の軸について復習すると、

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの軸（頂点の$x$座標）は
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$
だった。

復習より、軸が負であることを式で表すと、
$\displaystyle \frac{-b}{2a} \lt 0$式Ｂ
とかける。

式Ａより$0 \lt a$なので、両辺に$2a$をかけても符号の向きは変わらない。
よって、式Ｂは
$-b \lt 0$
より
$0 \lt b$
と変形できる。

条件Ｃ

$y=ax^{2}+bx+c$
に
$x=0$
を代入すると、
$y=c$
となる。

よって、$c$は、$x=0$のときの$y$座標、つまり$y$切片だ。
これが正なので、
$0 \lt c$
である。

以上より、$a$，$b$，$c$ともに正なので、答えは
⓪，③
のどちらかだ。

図１のグラフの特徴のうち、条件Ｄの
$x$軸と２点で交わる はまだ使ってないので、これを使って⓪と③のうちから答えを選ぼう。

条件Ｄ

グラフは$x$軸と２点で交わるので、
$D \gt 0$
だ。

⓪のときは
$D=1^{2}-4\cdot 2\cdot 3 \lt 0$
なので、不適。

③のときは
$D=3^{2}-4\displaystyle \cdot\frac{1}{2}\cdot 3 \gt 0$
なので、これが答えだ。

解答ア：３

(2)

InternetExplorer以外で見ている人は、「はじめに」に載せたグラフ表示ソフトで$c$の値を変えてみて、イメージをつかんでほしい。
イメージをつかんだところで、グラフの平行移動について復習しよう。

復習

$y=f(x)$の
$x$に$x-p$を代入すると、グラフは$x$軸方向に$p$平行移動する $y$に$y-q$を代入すると、グラフは$y$軸方向に$q$平行移動する

$a$，$b$の値は(1)のまま変えないので、グラフの式は
$y=\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}+3x+c$
だ。
これは
$\displaystyle y-c=\frac{1}{2}x^{2}+3x$式Ｃ
と変形できる。

復習より、式Ｃは
$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^{2}+3x$
のグラフを、$y$軸方向に$c$平行移動したものだ。

よって、$a$，$b$はそのままで、$c$の値だけ変化させると、グラフは$y$軸方向に移動する。

解答イ：２

(3)

$a=\displaystyle \frac{b^{2}}{4c}$のときは、簡単簡単。

判別式は
$D=b^{2}-4\displaystyle \cdot\frac{b^{2}}{4c}\cdot c$
$D$$=0$
なので、グラフの頂点は$x$軸上にある。

解答ウ：１

それ以外のときは、ちょっと考えないといけない。

$b$，$c$の値は(1)のまま変えないので、グラフの式は
$y=ax^{2}+3x+3$
だ。

$a$を、グラフが下に凸になる範囲で変化させるので、
$0 \lt a$
である。
このとき、グラフの軸（頂点の$x$座標）は、(1)の復習より
$\displaystyle \frac{-3}{2a}$
なので、必ず負である。

また、判別式は
$D=3^{2}-4\cdot a\cdot 3$
$D$$=3(3-4a)$
なので、
$3-4a \lt 0$
のとき、つまり
$\displaystyle \frac{3}{4} \lt a$のとき、
$D \lt 0$
 $3-4a \gt 0$
のとき、つまり
$a \lt \displaystyle \frac{3}{4}$のとき、
$0 \lt D$
 である。
$3-4a=0$のときは$a=\displaystyle \frac{b^{2}}{4c}$のときなので、考えなくてよい。

これを数直線で表すと、図Ａのようになる。

図Ａ
大学入学共通テスト2017年試行調査 数学ⅠＡ第１問[1] 解説図Ａ

いまは$0 \lt a$だけど、図Ａより、この範囲で$D$は正にも負にもなる。
よって、頂点は$x$軸の上にも下にもなる。

以上より、頂点の$x$座標は必ず負で、$y$座標は正にも負にもなるから、頂点は第２象限と第３象限を移動する。

解答エ：５

(4)

判別式や$a$と$c$の符号で説明する方が計算は楽なんだけど、頂点の$y$座標を使うようにとの指示なので、しかたがない。
面倒だけど、頂点の$y$座標を計算しよう。

頂点の$x$座標の
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$
を、二次関数の式に代入して、
$y=a\displaystyle \left(\frac{-b}{2a}\right)^{2}+b\cdot\frac{-b}{2a}+c$

これを計算すると
$y=a\displaystyle \cdot\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{2a}+c$
$y$$\displaystyle =\frac{b^{2}}{4a}-\frac{2b^{2}}{4a}+c$
$y$$\displaystyle =-\frac{b^{2}}{4a}+c$
となるので、頂点の$y$座標は
$-\displaystyle \frac{b^{2}}{4a}$ $+$ $c$式Ｄ
である。

ここで、
実数の２乗は$0$以上なので、$0\leqq b^{2}$ また、図２より、
グラフは下に凸なので、$0 \lt a$ $y$切片は負なので、$c \lt 0$ である。

よって、式Ｄの赤い部分は、
$-\displaystyle \frac{0\text{以上}}{\text{正}}$
となるから、
$-\displaystyle \frac{b^{2}}{4a}\leqq 0$
であることが分かる。

また、青い部分は、
$c \lt 0$
である。

よって、式Ｄは
$-\displaystyle \frac{b^{2}}{4a}+c \leqq 0$
といえる。

以上より、頂点の$y$座標が常に$0$以下なので、頂点は第１象限および第２象限には移動しない。

以上、考え方をかなり詳しく書いた。
共通テスト本番では時間も限られているし、こんなに丁寧に書く必要はない。
正解例が公表されているので、それを参考にしてほしい。
→ 数学入試問題データベースサイト
       大学入試数学問題集成さんで
          正解例を見る。