問題中のグラフ表示ソフトを再現してみた。
スライダーやテンキーで $a$，$b$，$c$ の値を変えてみて、イメージをつかんでみよう。

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7	8	9
4	5	6
1	2	3
0	－

問題文は長いけど、質問自体は定期テストなんかでよく見るやつだ。
このタイプの問題は決まった解き方があった。

問題文中の図１より、このときの二次関数のグラフは、
下に凸条件Ａ 放物線の軸が負条件Ｂ $y$切片（$y$軸との交点の$y$座標）が正条件Ｃ $x$軸と２点で交わる条件Ｄ である。

この３つを、ひとつずつ考えてゆこう。

まず、グラフは下に凸なので、
$0<a$式Ａ
である。

放物線の軸について復習すると、

復習より、軸が負であることを式で表すと、
${\displaystyle \frac{-b}{2a}<0}$式Ｂ
とかける。

式Ａより$0<a$なので、両辺に$2a$をかけても符号の向きは変わらない。
よって、式Ｂは
$-b<0$
より
$0<b$
と変形できる。

解答ア：３

InternetExplorer以外で見ている人は、「はじめに」に載せたグラフ表示ソフトで$c$の値を変えてみて、イメージをつかんでほしい。
イメージをつかんだところで、グラフの平行移動について復習しよう。

$a$，$b$の値は(1)のまま変えないので、グラフの式は
$y={\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+3x+c}$
だ。
これは
${\displaystyle y-c=\frac{1}{2}{x}^2+3x}$式Ｃ
と変形できる。

復習より、式Ｃは
${\displaystyle y=\frac{1}{2}{x}^2+3x}$
のグラフを、$y$軸方向に$c$平行移動したものだ。

よって、$a$，$b$はそのままで、$c$の値だけ変化させると、グラフは$y$軸方向に移動する。

解答イ：２

それ以外のときは、ちょっと考えないといけない。

$b$，$c$の値は(1)のまま変えないので、グラフの式は
$y=a{x}^2+3x+3$
だ。

$a$を、グラフが下に凸になる範囲で変化させるので、
$0<a$
である。
このとき、グラフの軸（頂点の$x$座標）は、(1)の復習より
${\displaystyle \frac{-3}{2a}}$
なので、必ず負である。

また、判別式は
$D=3^2-4\cdot a\cdot 3$
$D$$=3(3-4a)$
なので、
$3-4a<0$
のとき、つまり
${\displaystyle \frac{3}{4}<a}$のとき、
$D<0$
$3-4a>0$
のとき、つまり
$a<{\displaystyle \frac{3}{4}}$のとき、
$0<D$
である。
$3-4a=0$のときは$a={\displaystyle \frac{b^2}{4c}}$のときなので、考えなくてよい。

これを数直線で表すと、図Ａのようになる。

図の固定

いまは$0<a$だけど、図Ａより、この範囲で$D$は正にも負にもなる。
よって、頂点は$x$軸の上にも下にもなる。

以上より、頂点の$x$座標は必ず負で、$y$座標は正にも負にもなるから、頂点は第２象限と第３象限を移動する。

解答エ：５

判別式や$a$と$c$の符号で説明する方が計算は楽なんだけど、頂点の$y$座標を使うようにとの指示なので、しかたがない。
面倒だけど、頂点の$y$座標を計算しよう。

頂点の$x$座標の
${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$
を、二次関数の式に代入して、
$y=a{\displaystyle {\left(\frac{-b}{2a}\right)}^2+b\cdot \frac{-b}{2a}+c}$

これを計算すると
$y=a{\displaystyle \cdot \frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c}$
$y$${\displaystyle =\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+c}$
$y$${\displaystyle =-\frac{b^2}{4a}+c}$
となるので、頂点の$y$座標は
$-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}}$ $+$ $c$式Ｄ
である。

ここで、
実数の２乗は$0$以上なので、$0\leqq b^2$ また、図２より、
グラフは下に凸なので、$0<a$ $y$切片は負なので、$c<0$ である。

よって、式Ｄの赤い部分は、
$-{\displaystyle \frac{0\text{以上}}{\text{正}}}$
となるから、
$-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}\leqq 0}$
であることが分かる。

また、青い部分は、
$c<0$
である。

よって、式Ｄは
$-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}+c\leqq 0}$
といえる。

以上より、頂点の$y$座標が常に$0$以下なので、頂点は第１象限および第２象限には移動しない。

以上、考え方をかなり詳しく書いた。
共通テスト本番では時間も限られているし、こんなに丁寧に書く必要はない。
正解例が公表されているので、それを参考にしてほしい。
→ 数学入試問題データベースサイト
       大学入試数学問題集成さんで
          正解例を見る。