大学入学共通テスト 2017年(平成29年) 試行調査数学ⅠＡ第５問解説

(1)

まずは、方盤の作り方を理解するための導入問題だ。

$n = 8$ で、図３の方盤のＡのマスは $6$ 行目の $3$ 列目。
よって、
$(6 \times 3) \div 8 = 18 \div 8$
$(6 \times 3) \div 8$ $= 3 \dots 2$
より、当てはまる数は
$2$
である。

解答ア：２

$5$ 行目に並ぶ数は、左から
$(5 \cdot 1) \div 8 = 0 \dots$ $5$
$(5 \cdot 2) \div 8 = 1 \dots$ $2$
$(5 \cdot 3) \div 8 = 1 \dots$ $7$
$(5 \cdot 4) \div 8 = 2 \dots$ $4$
$(5 \cdot 5) \div 8 = 3 \dots$ $1$
$(5 \cdot 6) \div 8 = 3 \dots$ $6$
$(5 \cdot 7) \div 8 = 4 \dots$ $3$
なので、 $1$ が書かれているのは
$5$
列目。

解答イ：５

(2)

このタイプの問題を解き慣れていると、
「きっと答えは③の素数だ」
って見当がつく。

けれど、見当がつかなかった場合は、あれこれ考えるよりもやってみた方が早い。

選択肢を見ると、④と⑤は見た瞬間に誤りだと分かる。
$n = 4$ のときの方盤である図２を見ると、 $0$ がある。
$4$ は素数じゃないのに方盤に $0$ があるから、④は不適。 $n - 1$ の $3$ と $n$ の $4$ は互いに素なのに方盤に $0$ があるから、⑤は不適。

なので④と⑤は除外して、⓪～③の場合をやってみる。

まず、⓪の場合。

$3$ 以上の奇数は小さい方から
$3$ ， $5$ ， $7$ ， $9 \dots$
だけど、 $3$ ， $5$ ， $7$ は素数だからパスして、 $9$ でやってみよう。

このとき、 $1 ≦ k ≦ 8$ ， $1 ≦ ℓ ≦ 8$ だけど、
${\begin{cases} k = 3 \\ ℓ = 3 \end{cases}$
のとき、 $k ℓ = 9$ なのでマスの値は $0$ だ。
方盤に $0$ が現れるので、不適。

①の場合。

$4$ で割って $3$ 余る $3$ 以上の整数は、小さい方から
$3$ ， $7$ ， $11$ ， $15 \dots$
だけど、 $3$ ， $7$ ， $11$ は素数だからパスして、 $15$ でやってみよう。

このとき、 $1 ≦ k ≦ 14$ ， $1 ≦ ℓ ≦ 14$ だけど、
${\begin{cases} k = 3 \\ ℓ = 5 \end{cases}$
のとき、 $k ℓ = 15$ なのでマスの値は $0$ だ。
方盤に $0$ が現れるので、不適。

②の場合。

⓪でやってみた $n = 9$ は、 $2$ の倍数でも $5$ の倍数でもない整数だけど、方盤に $0$ が現れるので不適。

以上より、③以外の選択肢は全部、命題
「その選択肢であれば、方盤に $0$ が現れない」
の反例が見つかった。

なので、③以外は、方盤に $0$ が現れないための十分条件ではない。

必要十分条件とは、必要条件かつ十分条件だから、十分条件でなければ必要十分条件ではない。

よって、選択肢に必要十分条件が含まれているなら、
③
しかない。

解答ウ：３

別解

この問題のように、選択肢の中から答えを見つけるだけなら、上の方法がシンプルでお勧め。

だけど、これだと
③以外は必要十分条件ではないであることは示していても、
③が必要十分条件であることは示していない。

なので、記述問題の場合は思いっきり減点される。
記述問題では、③が必要十分条件であることを示す必要がある。

示し方は何通りもあるけれど、マークシート問題としては不要でもあるし、一通りだけ載せておく。

方盤に $0$ がない（ある） $\Rightarrow n$ は素数である（ない）
よりも
$n$ は素数である（ない） $\Rightarrow$ 方盤に $0$ がない（ある）
の方が解説が簡単なので、こっちを説明する。

$n$ が素数の場合

$n$ の正の約数は
$1$ と $n$
のふたつだけしかない。

また、
$1 ≦ k ≦ n - 1$
$1 ≦ ℓ ≦ n - 1$
なので、 $k$ や $ℓ$ が $n$ になることはない。

なので、 $k ℓ$ が $n$ の倍数になることはないから、 $k ℓ$ が $n$ で割り切れることはない。

よって、
$n$ が素数であれば、方盤に $0$ は現れないといえる。
つまり、 $n$ が素数であることは、方盤に $0$ が現れないことの十分条件である。

$n$ が合成数（ $1$ でも素数でもない自然数）の場合

$n$ が合成数なら、 $1$ と $n$ 以外の正の約数 $k$ が存在する。
$k$ は $1$ より大きく、 $n$ の約数なので $n$ より小さい数だから、
$2 ≦ k ≦ n - 1$
とかける。

$k$ は $n$ の約数なので、 $n$ は $k$ で割り切れる。
これを、
$ℓ = \frac{n}{k}$
と表すと、 $ℓ$ は整数で、 $n$ を $1$ より大きく $n$ より小さい数で割った商だから、
$2 ≦ ℓ ≦ n - 1$
である。

以上より、 $n$ が合成数なら、 $1 ≦ k ≦ n - 1$ ， $1 ≦ ℓ ≦ n - 1$ の範囲で
$k ℓ = n$
となる $k$ ， $ℓ$ が存在する。
つまり、方盤中に必ず $k ℓ$ が $n$ で割り切れるマスが存在する。

したがって、
$n$ が合成数なら、方盤に $0$ が現れるといえる。

この対偶は
$\overset{―}{方盤に 0 が現れる} \Rightarrow \overset{―}{n が合成数である}$ だけど、この問題では $3 ≦ n$ なので、
$\overset{―}{n が合成数である} = n$ が素数である
といえるから、上の対偶は
方盤に $0$ が現れない $\Rightarrow n$ は素数であるとかける。

よって、 $n$ が素数であることは、方盤に $0$ が現れないことの必要条件である。

以上より、 $n$ が素数であることは、方盤に $0$ が現れないことの必要条件かつ十分条件なので、
方盤に $0$ が現れないための必要十分条件は
③
である。

解答ウ：３

(3)

(i)

方盤の $27$ 行目の $ℓ$ 列目は値が $1$ なので、
$27 ℓ \div 56 =$ 商 $\dots 1$
より
$27 ℓ = 56 \times$ 商 $+ 1$
$27 ℓ - 56 \times$ 商 $= 1$
とかける。

この商を整数 $m$ とおくと、
$27 ℓ - 56 m = 1$ 式Ａ
とかけるから、求める $ℓ$ は式Ａの整数解のうち、
$1 ≦ ℓ ≦ 55$
を満たすものである。

解答エ：０

(ii)

式Ａの一次不定方程式を解く。

まず、解をひとつ見つけよう。

$ℓ$ と $m$ の係数の $27$ と $56$ でユークリッドの互除法を行うと、
$56 \div 27 = 2 \dots 2$ 式Ｂ1
$27 \div 2 = 13 \dots 1$ 式Ｂ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$56 - 27 \cdot 2 = 2$ 式Ｂ1'
$27 - 2 \cdot 13 = 1$ 式Ｂ2'

式Ｂ2'に式Ｂ1'を代入して、
$27 - (56 - 27 \cdot 2) \cdot 13 = 1$
より
$27 - 56 \cdot 13 + 27 \cdot 2 \cdot 13 = 1$
$27 (1 + 2 \cdot 13) - 56 \cdot 13 = 1$
$27 \cdot 27 - 56 \cdot 13 = 1$ 式Ｃ
ができる。

式Ｃより、解のひとつは
$(ℓ, m) = (27, 13)$
だ。

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

	$27 ℓ$	$- 56 m$	$=$	$1$
$-)$	$27 \cdot 27$	$- 56 \cdot 13$	$=$	$1$
	$27 (ℓ - 27)$	$- 56 (m - 13)$	$=$	$0$

となるから、
$27 (ℓ - 27) = 56 (m - 13)$ 式Ｄ
とかける。

ここで、 $27$ と $56$ は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、 $j$ を整数として
${\begin{cases} ℓ - 27 = 56 j \\ m - 13 = 27 j \end{cases}$
でなければならない。

以上より、一次不定方程式Ａの解は、 $j$ を整数として
${\begin{cases} ℓ = 56 j + 27 \\ m = 27 j + 13 \end{cases}$ 式Ｅ
である。

いま求めているのは、Ａの整数解のうち
$1 ≦ ℓ ≦ 55$
であるもの。

なので、この $ℓ$ に式Ｅを代入すると
$1 ≦ 56 j + 27 ≦ 55$
より
$- 26 ≦ 56 j ≦ 28$
$- \frac{26}{56} ≦ j ≦ \frac{28}{56}$
と表せるから、これを満たす整数 $j$ は
$j = 0$
しかない。

これを式Ｅに代入して、求める $ℓ$ 、つまり列は
$ℓ = 56 \cdot 0 + 27$
$ℓ$ $= 27$
である。

解答オ：２, カ：７

(4)

(i)

$24$ 行目の左から $ℓ$ 列目が $0$ であるのは、 $24 ℓ$ が $56$ の倍数のとき。
このとき、 $j$ を整数として
$24 ℓ = 56 j$ 式Ｆ
と表せる。

ここで、 $24$ と $56$ の最大公約数を考えると

$2$	$)$	$24$	$56$
$2$	$)$	$12$	$28$
$2$	$)$	$6$	$14$
		$3$	$7$

より、最大公約数は
$2^{3}$
である。

なので、式Ｆは、両辺を最大公約数の $2^{3}$ で割って
$3 ℓ = 7 j$ 式Ｆ'
と変形できる。

ここで、 $3$ と $7$ は互いに素なので、式Ｆ'が成り立つためには、
$ℓ$ は $7$ の倍数でなければならない。

解答キ：７

いま
$1 ≦ ℓ ≦ 55$
なので、この中に $7$ の倍数が何個あるか数えれば、それが $0$ の個数だ。

よって、 $0$ の個数は
$\frac{55}{7} = 7.8 \dots$
より
$7$ 個
である。

解答ク：７

(ii)

(i)の方法を振り返ってみると、
$0$ の個数は、 $55$ を $7$ で割った整数部分その $7$ は、 $24$ と $56$ の最大公約数で $56$ を割った商だった。

ということは、 $k$ 行目の $0$ の個数は、
$k$ と $56$ の最大公約数を求めて、その最大公約数で $56$ を割った商を求めて、その商で $55$ を割った値の整数部分と考えられる。

$k$ と $56$ の最大公約数を $A$ として上の方法を式にすると、 $k$ 行目の $0$ の個数は
$\frac{55}{\frac{56}{A}} = \frac{55 A}{56}$ の整数部分式Ｇ
とかける。

今は $0$ の個数が一番多い行を探している。
これは、式Ｇより
$\frac{55 A}{56}$ の整数部分
が一番大きな数になる行を探していると言いかえられる。

さらに、
$\frac{55}{56}$ は定数なので、
$A$ が大きいほど $\frac{55 A}{56}$ も大きい。といえる。

以上より、 $k$ と $56$ の最大公約数が最も大きい $k$ 行目が、 $0$ の個数が一番多い行だ。

$56$ を素因数分解すると
$56 = 2^{3} \cdot 7$
である。

いま、 $k$ の範囲は
$1 ≦ k ≦ 55$ 式Ｈ
だから、最大公約数が $56$ になるのは無理。

なので、 $k$ と $56$ の最大公約数 $A$ が最も大きくなるのは
$A = 2^{2} \cdot 7$
のとき。

このとき、 $k$ は $A$ の倍数だから、 $j$ を整数として
$k = 2^{2} \cdot 7 j$
$k$ $= 28 j$
とかける。

この $k$ が式Ｈの範囲に入るのは、 $j = 1$ のときで、
$k = 28$
である。

解答ケ：２, コ：８

(5)

面倒だけど、選択肢をひとつずつ検討しよう。

⓪

式Ｇより、 $k$ 行目に現れる $0$ の個数は、 $k$ と $56$ の最大公約数を $A$ として、
$\frac{55 A}{56}$ の整数部分だった。

$5$ と $56$ の最大公約数は
$1$
なので、 $0$ の個数は、
$\frac{55 \cdot 1}{56} < 1$
より、 $0$ 個。

よって、⓪は誤り。

また、このことから、
$k$ と $56$ が互いに素であれば、 $k$ 行目には $0$ が現れないルールＡことが分かる。

①

⓪と同様に考える。

$6$ と $56$ の最大公約数は
$2$
なので、 $0$ の個数は
$1 < \frac{55 \cdot 2}{56} < 2$
より、 $1$ 個。

よって、①は正しい。

②

(3)では、 $27$ 行目の何列目が $1$ になるかは
$27 ℓ - 56 m = 1$ 式Ａ
の整数解から求めた。

同様に考えて、 $k$ 行目の何列目が $1$ になるかは
$k ℓ - 56 m = 1$ 式Ｉ
の整数解から求められる。

いまは $k = 9$ のときを考えているので、式Ｉの $k$ に $9$ を代入した
$9 ℓ - 56 m = 1$
を解いてみて、
$1 ≦ ℓ ≦ 55$
である整数解 $ℓ$ があれば、 $9$ 行目に $1$ がある。

でも、そんな面倒なことはしたくない。
他の方法を考えよう。

ここで、一次不定方程式が解を持つ条件の復習をしておくと、

復習

$a x + b y = 1$ が $x$ ， $y$ の整数解を持つ
$⇕$
$a$ と $b$ が互いに素

だった。

復習より、 $k = 9$ のとき、
$9 = 3^{2}$
と
$56 = 2^{3} \cdot 7$
は互いに素なので、式Ｉは $ℓ$ の整数解をもつ。

あとは、この $ℓ$ の整数解に
$1 ≦ ℓ ≦ 55$
であるものがあれば、②は正しいことになる。
なので、それを確認しよう。

(3)での作業と似たようなことをする。

式Ｉが $ℓ$ の整数解をもつとき、つまり $k$ と $56$ が互いに素であるとき、その解のひとつを
$(ℓ, m) = (a, b)$
として、式Ｉに代入すると
$k a - 56 b = 1$
ができる。

これを式Ｉから辺々ひくと、

	$k ℓ$	$- 56 m$	$=$	$1$
$-)$	$k a$	$- 56 b$	$=$	$1$
	$27 (ℓ - a)$	$- 56 (m - b)$	$=$	$0$

となるから、
$k (ℓ - a) = 56 (m - b)$ 式Ｊ
とかける。

ここで、 $k$ と $56$ は互いに素なので、式Ｊが成り立つためには、 $j$ を整数として
${\begin{cases} ℓ - a = 56 j \\ m - b = 27 j \end{cases}$
でなければならない。

以上より、一次不定方程式Ｉにおける $ℓ$ の解は、 $j$ を整数として
$ℓ = 56 j + a$ 式Ｋ
となる。

つまり、 $ℓ$ は $55$ おきの整数だ。

なので、
もし $ℓ = 0$ が解のひとつなら、 $ℓ$ の解は
$ℓ = 0$ ， $56$ ， $\dots$
となって、 $1 ≦ ℓ ≦ 55$ の解は存在しないもし $ℓ = 0$ が解でなければ、
$1 ≦ ℓ ≦ 55$ の解が存在することが分かる。

$ℓ = 0$ が解のひとつなら、式Ｉより
$k \cdot 0 - 56 m = 1$
$56 m = - 1$
$m = - \frac{1}{56}$
であるはず。

ところが、(3)(i)で決めたように $m$ は整数なので、この式は成り立たない。
つまり、 $ℓ = 0$ は解ではない。

よって、式Ｉは、 $1 ≦ ℓ ≦ 55$ を満たす整数解 $ℓ$ をもつ。

以上より、 $9$ 行目には値が $1$ であるマスが存在する。
なので、②は正しい。

ここで先の選択肢に行く前に、ちょっとまとめておこう。

上の解説では式Ｉから式Ｋを作った。
式Ｉの右辺の $1$ を $R$ に（ただし、 $R$ は $1 ≦ R ≦ 55$ の整数）書きかえて、
$k ℓ - 56 m = R$ 式Ｉ' としても、同様の計算が成り立つ。。

このことから、
$n = 56$ の方盤において、 $k$ と $56$ が互いに素であれば、 $k$ 行目に値が $R$ （ $1 ≦ R ≦ 55$ ）であるマスが存在するルールＢことが分かる。

③

$k = 10$ のとき、
$10 = 2 \cdot 5$
と
$56 = 2^{3} \cdot 7$
は互いに素ではない。

なので、ルールＢより、 $10$ 行目には値が $1$ であるマスは存在しない。

よって、③は誤り。

④

$k = 15$ のとき、
$15 = 3 \cdot 5$
と
$56 = 2^{3} \cdot 7$
は互いに素である。

なので、ルールＢより、 $15$ 行目には値が $7$ であるマスが存在する。

よって、④は正しい。

⑤

$21$ と $56$ は互いに素ではないので、 $21$ 行目には値が $7$ であるマスは存在しない、と言いたいけれど、ちょっと考えよう。

⑤と②③④は違うところがあって、 $k = 21$ ， $R = 7$ を式Ｉ'に代入した場合、
$21 ℓ - 56 m = 7$ 式Ｋ
となり、両辺が同じ数（つまり $7$ ）で割りきれる。
なので、単純に $21$ と $56$ が互いに素かどうかだけでは判断ができないのだ。

式Ｋの両辺を $7$ で割ると
$3 ℓ - 8 m = 1$
となるけど、 $3$ と $8$ は互いに素なので、この不定方程式は $ℓ$ の整数解をもつ。
てか、見るからに解のひとつは
$(ℓ, m) = (3, 1)$
だ。

なので、 $21$ 行目・ $3$ 列目のマスの値は $7$ だ。

よって、⑤は正しい。

以上より、選択肢のうち正しいものは
①②④⑤
である。

解答サ：１，２，４，５

別解

合同式の考え方を使うと、②④はもっと簡単に解ける。
けれど、高校によっては授業で扱わないし、指導要領からも外れるので、必要ないと思う人は以下の解説は読まなくても問題ない。
また、文章が長くなるけど、合同式の表現は避けて解説する。

合同式の性質の必要な部分を抜き出すと、

ポイント

整数 $ℓ_{a}$ ， $ℓ_{b}$ ， $k$ と、自然数 $n$ について、
$ℓ_{a}$ を $n$ で割った余りを $a$
$ℓ_{b}$ を $n$ で割った余りを $b$
$k ℓ_{a}$ を $n$ で割った余りを $A$
$k ℓ_{b}$ を $n$ で割った余りを $B$
とする。

このとき、
$a = b$ ならば $A = B$ $k$ と $n$ が互いに素である場合、
$A = B$ ならば $a = b$

である。

このことから、 $k$ と $n$ が互いに素である場合
$a = b \Leftrightarrow A = B$ なので、
$\overset{―}{a = b} \Leftrightarrow \overset{―}{A = B}$
つまり
$a \neq b \Leftrightarrow A \neq B$ である。

これをこの問題にあてはめると、
$1$ 以上 $55$ 以下の整数 $ℓ_{a}$ ， $ℓ_{b}$ ， $k$ について、 $k$ と $56$ が互いに素であるとき、
$a \neq b \Leftrightarrow A \neq B$ ルールＣといえる。

$n = 56$ の方盤の $1$ 行目を考えると、左から、
$1$ 列目のマスは $k ℓ = 1$ なので、 $56$ で割った余りは $1$ $2$ 列目のマスは $k ℓ = 2$ なので、 $56$ で割った余りは $2$ $3$ 列目のマスは $k ℓ = 3$ なので、 $56$ で割った余りは $3$ $⋮$
$54$ 列目のマスは $k ℓ = 54$ なので、 $56$ で割った余りは $54$ $55$ 列目のマスは $k ℓ = 55$ なので、 $56$ で割った余りは $55$ となっている。
つまり、 $1$ 行目に現れる数字（つまり $k ℓ$ を $56$ で割った余り）は $1$ から $55$ までの整数で、すべてのマスの数字は等しくない。

さらに、 $k$ 行目を考えると、
$1$ 列目は、 $k ℓ = k$ $2$ 列目は、 $k ℓ = 2 k$ $3$ 列目は、 $k ℓ = 3 k$ $⋮$
$54$ 列目は、 $k ℓ = 54 k$ $55$ 列目は、 $k ℓ = 55 k$ だから、すべてのマスで $k ℓ$ は $1$ 列目の $k$ 倍になっている。

よって、ルールＣより、 $k$ と $56$ が互いに素であれば、 $k$ 行目に現れるすべてのマスの数字は等しくない。

さらに、マスに現れることができる数字は $k ℓ$ を $56$ で割った余りだけど、ルールＡより、 $0$ は含まれないから、
$1$ 以上 $55$ 以下の整数である。

以上より、
$k$ と $56$ が互いに素であるとき、 $k$ 行目には $1$ から $55$ までのすべての整数が $1$ 回ずつ現れるルールＤことが分かる。

ルールＤより、 $9$ と $56$ は互いに素なので、 $9$ 行目には $1$ から $55$ までのすべての整数が現れる。
なので、②は正しい。

同様に、 $15$ と $56$ は互いに素なので、 $15$ 行目には $1$ から $55$ までのすべての整数が現れる。
なので、④は正しい。

以上、ざっと説明した。
このサイトの目的は基本事項の整理なので、合同式については今のところこれ以上扱う予定はない。
教科書や参考書によっては解説が載っていたりするので、もっと詳しく知りたい人はそちらで学習してほしい。

第１問	[1]	解説
第１問	[2]	解説
第２問	[1]	解説
第２問	[2]	解説
第３問		解説
第４問		解説
第５問		解説

第１問	[1]	解説
	[2]	解説
	[3]	解説
	[4]	解説
第２問		解説
第３問		解説
第４問		解説
第５問		解説

(1)

(2)

別解

nが素数の場合

nが合成数（1でも素数でもない自然数）の場合

(3)

(i)

(ii)

(4)

(i)

(ii)

(5)

⓪

①

②

復習

③

④

⑤

別解

ポイント

$n$ が素数の場合

$n$ が合成数（ $1$ でも素数でもない自然数）の場合