このタイプの問題を解き慣れていると、
「きっと答えは③の素数だ」
って見当がつく。

けれど、見当がつかなかった場合は、あれこれ考えるよりもやってみた方が早い。

選択肢を見ると、④と⑤は見た瞬間に誤りだと分かる。
$n=4$のときの方盤である図２を見ると、$0$がある。
$4$は素数じゃないのに方盤に$0$があるから、④は不適。 $n-1$の$3$と$n$の$4$は互いに素なのに方盤に$0$があるから、⑤は不適。

なので④と⑤は除外して、⓪～③の場合をやってみる。

まず、⓪の場合。

$3$以上の奇数は小さい方から
$3$，$5$，$7$，$ 9\ldots$
だけど、$3$，$5$，$7$は素数だからパスして、$9$でやってみよう。

このとき、$1\leqq k\leqq 8$，$1\leqq\ell\leqq 8$だけど、
$\left\{\begin{array}{l}
k=3\\
\ell=3
\end{array}\right.$
のとき、$k\ell=9$なのでマスの値は$0$だ。
方盤に$0$が現れるので、不適。

①の場合。

$4$で割って$3$余る$3$以上の整数は、小さい方から
$3$，$7$，$11$，$ 15\ldots$
だけど、$3$，$7$，$11$は素数だからパスして、$15$でやってみよう。

このとき、$1\leqq k\leqq 14$，$1\leqq\ell\leqq 14$だけど、
$\left\{\begin{array}{l}
k=3\\
\ell=5
\end{array}\right.$
のとき、$k\ell=15$なのでマスの値は$0$だ。
方盤に$0$が現れるので、不適。

②の場合。

⓪でやってみた$n=9$は、$2$の倍数でも$5$の倍数でもない整数だけど、方盤に$0$が現れるので不適。

以上より、③以外の選択肢は全部、命題
「その選択肢であれば、方盤に$0$が現れない」
の反例が見つかった。

なので、③以外は、方盤に$0$が現れないための十分条件ではない。

必要十分条件とは、必要条件かつ十分条件だから、十分条件でなければ必要十分条件ではない。

よって、選択肢に必要十分条件が含まれているなら、
③
しかない。

解答ウ：３

(i)

方盤の$27$行目の$\ell$列目は値が$1$なので、
$27\ell\div 56=$商$\ldots 1$
より
$ 27\ell=56\times$商$+1$
$ 27\ell-56\times$商$=1$
とかける。

この商を整数$m$とおくと、
$27\ell-56m=1$式Ａ
とかけるから、求める$\ell$は式Ａの整数解のうち、
$1\leqq\ell\leqq 55$
を満たすものである。

解答エ：０

(ii)

式Ａの一次不定方程式を解く。

まず、解をひとつ見つけよう。

$\ell$と$m$の係数の$27$と$56$でユークリッドの互除法を行うと、
$56\div 27=2\ldots 2$式Ｂ1
$27\div 2=13\ldots 1$式Ｂ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$56-27\cdot 2=2$式Ｂ1'
$27-2\cdot 13=1$式Ｂ2'

式Ｂ2'に式Ｂ1'を代入して、
$27-(56-27\cdot 2)\cdot 13=1$
より
$27-56\cdot 13+27\cdot 2\cdot 13=1$
$27(1+2\cdot 13)-56\cdot 13=1$
$27\cdot 27-56\cdot 13=1$式Ｃ
ができる。

式Ｃより、解のひとつは
$( \ell, m) = (27,13)$
だ。

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

となるから、
$27(\ell-27)=56(m-13)$式Ｄ
とかける。

ここで、$27$と$56$は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、$j$を整数として
$\left\{\begin{array}{l} \ell-27=56j\\ m-13=27j \end{array}\right.$
でなければならない。

以上より、一次不定方程式Ａの解は、$j$を整数として
$\left\{\begin{array}{l} \ell=56j+27\\ m=27j+13 \end{array}\right.$式Ｅ
である。

いま求めているのは、Ａの整数解のうち
$1\leqq\ell\leqq 55$
であるもの。

なので、この$\ell$に式Ｅを代入すると
$1\leqq 56j+27\leqq 55$
より
$-26\leqq 56j\leqq 28$
$-\displaystyle \frac{26}{56}\leqq j\leqq\frac{28}{56}$
と表せるから、これを満たす整数$j$は
$j=0$
しかない。

これを式Ｅに代入して、求める$\ell$、つまり列は
$\ell=56\cdot 0+27$
$\ell$$=27$
である。

解答オ：２, カ：７

(i)

$24$行目の左から$\ell$列目が$0$であるのは、$24\ell$が$56$の倍数のとき。
このとき、$j$を整数として
$24\ell=56j$式Ｆ
と表せる。

ここで、$24$と$56$の最大公約数を考えると

より、最大公約数は
$2^{3}$
である。

なので、式Ｆは、両辺を最大公約数の$2^{3}$で割って
$3\ell=7j$式Ｆ'
と変形できる。

ここで、$3$と$7$は互いに素なので、式Ｆ'が成り立つためには、
$\ell$は$7$の倍数 でなければならない。

解答キ：７

(ii)

(i)の方法を振り返ってみると、
$0$の個数は、$55$を$7$で割った整数部分 その$7$は、$24$と$56$の最大公約数で$56$を割った商 だった。

ということは、$k$行目の$0$の個数は、
$k$と$56$の最大公約数を求めて、 その最大公約数で$56$を割った商を求めて、 その商で$55$を割った値の整数部分 と考えられる。

$k$と$56$の最大公約数を$A$として上の方法を式にすると、$k$行目の$0$の個数は
$\displaystyle \frac{55}{\frac{56}{A}}=\frac{55A}{56}$の整数部分式Ｇ
とかける。

今は$0$の個数が一番多い行を探している。
これは、式Ｇより
$\displaystyle \frac{55A}{56}$の整数部分
が一番大きな数になる行を探している と言いかえられる。

さらに、
$\displaystyle \frac{55}{56}$は定数なので、
$A$が大きいほど$\displaystyle \frac{55A}{56}$も大きい。 といえる。

以上より、$k$と$56$の最大公約数が最も大きい$k$行目が、$0$の個数が一番多い行だ。

$56$を素因数分解すると
$56=2^{3}\cdot 7$
である。

いま、$k$の範囲は
$1\leqq k\leqq 55$式Ｈ
だから、最大公約数が$56$になるのは無理。

なので、$k$と$56$の最大公約数$A$が最も大きくなるのは
$A=2^{2}\cdot 7$
のとき。

このとき、$k$は$A$の倍数だから、$j$を整数として
$k=2^{2}\cdot 7j$
$k$$=28j$
とかける。

この$k$が式Ｈの範囲に入るのは、$j=1$のときで、
$k=28$
である。

解答ケ：２, コ：８

面倒だけど、選択肢をひとつずつ検討しよう。

⓪

式Ｇより、$k$行目に現れる$0$の個数は、$k$と$56$の最大公約数を$A$として、
$\displaystyle \frac{55A}{56}$の整数部分 だった。

$5$と$56$の最大公約数は
$1$
なので、$0$の個数は、
$\displaystyle \frac{55\cdot 1}{56} \lt 1$
より、$0$個。

よって、⓪は誤り。

また、このことから、
$k$と$56$が互いに素であれば、$k$行目には$0$が現れないルールＡ ことが分かる。

ここで、一次不定方程式が解を持つ条件の復習をしておくと、

だった。

復習より、$k=9$のとき、
$9=3^{2}$
と
$56=2^{3}\cdot 7$
は互いに素なので、式Ｉは$\ell$の整数解をもつ。

あとは、この$\ell$の整数解に
$1\leqq\ell\leqq 55$
であるものがあれば、②は正しいことになる。
なので、それを確認しよう。

(3)での作業と似たようなことをする。

式Ｉが$\ell$の整数解をもつとき、つまり$k$と$56$が互いに素であるとき、その解のひとつを
$(\ell,m)=(a,b)$
として、式Ｉに代入すると
$ka-56b=1$
ができる。

これを式Ｉから辺々ひくと、

となるから、
$k(\ell-a)=56(m-b)$式Ｊ
とかける。

ここで、$k$と$56$は互いに素なので、式Ｊが成り立つためには、$j$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}
\ell-a=56j\\
m-b=27j
\end{array}\right.$
でなければならない。

以上より、一次不定方程式Ｉにおける$\ell$の解は、$j$を整数として
$\ell=56j+a$式Ｋ
となる。

つまり、$\ell$は$55$おきの整数だ。

なので、
もし$\ell=0$が解のひとつなら、$\ell$の解は
$\ell=0$，$56$，$\ldots$
となって、$1\leqq\ell\leqq 55$の解は存在しない もし$\ell=0$が解でなければ、
$1\leqq\ell\leqq 55$の解が存在する ことが分かる。

$\ell=0$が解のひとつなら、式Ｉより
$k\cdot 0-56m=1$
$56m=-1$
$m=-\displaystyle \frac{1}{56}$
であるはず。

ところが、(3)(i)で決めたように $m$は整数なので、この式は成り立たない。
つまり、$\ell=0$は解ではない。

よって、式Ｉは、$1\leqq\ell\leqq 55$を満たす整数解$\ell$をもつ。

以上より、$9$行目には値が$1$であるマスが存在する。
なので、②は正しい。

ここで先の選択肢に行く前に、ちょっとまとめておこう。

上の解説では式Ｉから式Ｋを作った。
式Ｉの右辺の$1$を$R$に（ただし、$R$は$1\leqq R\leqq 55$の整数）書きかえて、
$k\ell-56m=R$式Ｉ' としても、同様の計算が成り立つ。。

このことから、
$n=56$の方盤において、$k$と$56$が互いに素であれば、$k$行目に値が$R$（$1\leqq R\leqq 55$）であるマスが存在するルールＢ ことが分かる。

⑤

$21$と$56$は互いに素ではないので、$21$行目には値が$7$であるマスは存在しない、と言いたいけれど、ちょっと考えよう。

⑤と②③④は違うところがあって、$k=21$，$R=7$を式Ｉ'に代入した場合、
$21\ell-56m=7$式Ｋ
となり、両辺が同じ数（つまり$7$）で割りきれる。
なので、単純に$21$と$56$が互いに素かどうかだけでは判断ができないのだ。

式Ｋの両辺を$7$で割ると
$3\ell-8m=1$
となるけど、$3$と$8$は互いに素なので、この不定方程式は$\ell$の整数解をもつ。
てか、見るからに解のひとつは
$(\ell,m)=(3,1)$
だ。

なので、$21$行目・$3$列目のマスの値は$7$だ。

よって、⑤は正しい。