図の固定

円$C$と直線$\ell$が異なる２点で交わるためには、$C$の中心と$\ell$の距離が$5$未満であればよい。

直線$\ell$の式は
$x+y=a$
より
$x+y-a=0$
である。

よって、円$C$の中心（原点）と直線$\ell$の距離$d$は
$d={\displaystyle \frac{|0+0-a|}{\sqrt{1^2+1^2}}}$
$d$${\displaystyle =\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}}$
とかける。

これが$5$未満なので、このときの$a$の範囲は
${\displaystyle \frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}<5}$
より
$\left|a\right|<5\sqrt{2}$
$-5\sqrt{2}<a<5\sqrt{2}$
となる。

解答ア：５, イ：２

このとき、交点のひとつを点$\mathrm{P}$とし、座標を
$(s,t)$
とする。

点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上の点なので、
$s+t=a$
より、両辺を２乗して
$s^2+2st+t^2=a^2$式Ａ
とかける。

また、円$C$の式は、
$x^2+y^2=5^2$
だけど、点$\mathrm{P}$は円$C$上の点なので、
$s^2+t^2=5^2$式Ｂ
とかける。

式Ａから式Ｂを辺々ひくと、

より
$st={\displaystyle \frac{a^2-25}{2}}$
である。

解答ウ：２, エ：５, オ：２