数学Ｂ：数列 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ 型の漸化式

例題

$a_{1} = 5$ 、 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）によって定められる数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

この例題のように、 $a_{n + 1} = q a_{n} + p$ の形の漸化式には決まった解き方があるので憶えておこう。

解説

まず、漸化式の両辺から $2$ を引く。
ここで、 $3$ じゃダメなの？とか、どうやって $2$ を見つけるの？とかいう疑問がでても、今は気にせずついてきてください。後で説明するから。
で、両辺から $2$ を引くと、
$a_{n + 1} - 2 = 4 a_{n} - 8$
$a_{n + 1} - 2 = 4 (a_{n} - 2)$ 式Ａ

$a_{n} - 2 = b_{n}$ 式Ｂ
と名前をつけると、
$a_{n + 1} - 2 = b_{n + 1}$
なので、これを式Ａに代入すると
$b_{n + 1} = 4 b_{n}$
となる。

これは漸化式の基本の２番目の形で、等比数列を表している。
公比は $4$ だから、あとは初項が分かれば ${b_{n}}$ の一般項が求められる。

で、再び式Ｂだ。
$a_{n} - 2 = b_{n}$
だから、
$a_{1} - 2 = b_{1}$
といえる。問題文から $a_{1} = 5$ なので、
$b_{1} = 5 - 2 = 3$

以上から、 ${b_{n}}$ は初項 $3$ 、公比 $4$ の等比数列だということが分かった。

等比数列の一般項の式から、
$b_{n} = 3 \cdot 4^{n - 1}$ 式Ｃ
となる。

でも、今知りたいのは ${b_{n}}$ じゃなくて、 ${a_{n}}$ の一般項。
というわけで、もう一度式Ｂだ。
$a_{n} - 2 = b_{n}$ 式Ｂ
これに式Ｃの $b_{n} = 3 \cdot 4^{n - 1}$ を代入すると、
$a_{n} - 2 = 3 \cdot 4^{n - 1}$
$a_{n} = 3 \cdot 4^{n - 1} + 2$
となる。
これが求める ${a_{n}}$ の一般項だ。

解答 $3 \cdot 4^{n - 1} + 2$

ここで、初めの疑問に戻ろう。
どうやって $2$ を見つけるの、という疑問だ。

まず、理屈抜きで方法だけ。

もともとの漸化式の
$a_{n + 1} = 4 a_{n} - 6$
の $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を $x$ に変えると、
$x = 4 x - 6$
になる。これを方程式だと思って解くと、解は
$x = 2$
となる。この $2$ を両辺から引く。

こんな説明じゃ分からん。ちゃんと理由も教えろという人は、この先の説明も読んでほしい。問題だけ解ければいい人は、この先は読まなくても大丈夫です。

結局、
$a_{n + 1} = q a_{n} + p$
って漸化式を、
$a_{n + 1} - x = q (a_{n} - x)$ 式Ｄ
って形に変形したい。
この $x$ が分かれば、それが両辺から引く数だ。

今は $q = 1$ のときは考えない。
だって、 $q = 1$ だったら、漸化式は
$a_{n + 1} = a_{n} + p$
となって、漸化式の基本の１番目の形なので。

で、 $x$ を求めよう。
式Ｄを変形して、
$a_{n + 1} - x = q a_{n} - q x$
$a_{n + 1} = q a_{n} - q x + x$
これがもとの漸化式と同じになるから、青い部分が $p$ であればいい。
$- q x + x = p$
これを変形して、
$x = q x + p$
って、あれ？もとの漸化式の $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を $x$ に置き換えたものになったよ。
というわけで、両辺から引く数は、もとの漸化式の $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を $x$ に置き換えて、方程式だと思って解けば見つかることが分かった。

で、もう一つの疑問。
$3$ じゃダメなの？
ダメです。