まず、漸化式の両辺から$2$を引く。
ここで、$3$じゃダメなの？とか、どうやって$2$を見つけるの？とかいう疑問がでても、今は気にせずついてきてください。後で説明するから。
で、両辺から$2$を引くと、
$a_{n+1}-2=4a_{n}-8$
$a_{n+1}-2=4(a_{n}-2)$式Ａ

$a_{n}-2=b_{n}$式Ｂ
と名前をつけると、
$a_{n+1}-2=b_{n+1}$
なので、これを式Ａに代入すると
$b_{n+1}=4b_{n}$
となる。

これは漸化式の基本の２番目の形で、等比数列を表している。
公比は$4$だから、あとは初項が分かれば$\{b_{n}\}$の一般項が求められる。

で、再び式Ｂだ。
$a_{n}-2=b_{n}$
だから、
$a_{1}-2=b_{1}$
といえる。問題文から$a_{1}=5$なので、
$b_{1}=5-2=3$

以上から、$\{b_{n}\}$は初項$3$、公比$4$の等比数列だということが分かった。

等比数列の一般項の式から、
$b_{n}=3\cdot 4^{n-1}$式Ｃ
となる。

でも、今知りたいのは$\{b_{n}\}$じゃなくて、$\{a_{n}\}$の一般項。
というわけで、もう一度式Ｂだ。
$a_{n}-2=b_{n}$式Ｂ
これに式Ｃの$b_{n}=3\cdot 4^{n-1}$を代入すると、
$a_{n}-2=3\cdot 4^{n-1}$
$a_{n}=3\cdot 4^{n-1}+2$
となる。
これが求める$\{a_{n}\}$の一般項だ。

解答$3 \cdot 4^{n-1} + 2$

ここで、初めの疑問に戻ろう。
どうやって$2$を見つけるの、という疑問だ。

まず、理屈抜きで方法だけ。

もともとの漸化式の
$a_{n+1}=4a_{n}-6$
の$a_{n+1}$と$a_{n}$を$x$に変えると、
$x=4x-6$
になる。これを方程式だと思って解くと、解は
$x=2$
となる。この$2$を両辺から引く。

こんな説明じゃ分からん。ちゃんと理由も教えろという人は、この先の説明も読んでほしい。問題だけ解ければいい人は、この先は読まなくても大丈夫です。

結局、
$a_{n+1}=qa_{n}+p$
って漸化式を、
$a_{n+1}-x=q(a_{n}-x)$式Ｄ
って形に変形したい。
この$x$が分かれば、それが両辺から引く数だ。

今は$q=1$のときは考えない。
だって、$q=1$だったら、漸化式は
$a_{n+1}=a_{n}+p$
となって、漸化式の基本の１番目の形なので。

で、$x$を求めよう。
式Ｄを変形して、
$a_{n+1}-x=qa_{n}-qx$
$a_{n+1}=qa_{n}-qx+x$
これがもとの漸化式と同じになるから、青い部分が$p$であればいい。
$-qx+x=p$
これを変形して、
$x=qx+p$
って、あれ？もとの漸化式の$a_{n+1}$と$a_{n}$を$x$に置き換えたものになったよ。
というわけで、両辺から引く数は、もとの漸化式の$a_{n+1}$と$a_{n}$を$x$に置き換えて、方程式だと思って解けば見つかることが分かった。

で、もう一つの疑問。
$3$じゃダメなの？
ダメです。