大学入学共通テスト 2017年(平成29年) 試行調査数学ⅡＢ第２問解説

(1)

問題文中のグラフより、 $y = S (x)$ のグラフは $x$ 軸と
$(- 1, 0)$ で交わる $(2, 0)$ で接する

なので、方程式 $S (x) = 0$ は
$x = 0$ の解をもつ $x = 2$ の重解をもつことが分かる。

このことから、 $p$ を実数として、 $S (x)$ は
$S (x) = p (x + 1) (x - 2)^{2}$ 式Ａ
とかける。

また、 $y = S (x)$ は
$(0, 4)$
を通るので、これを式Ａに代入して、
$p (0 + 1) (0 - 2)^{2} = 4$
より
$p = 1$
である。

よって、 $S (x)$ の式は
$S (x) = (x + 1) (x - 2)^{2}$ 式Ａ'
であることが分かる。

解答ア：１, イ：２, ウ：２

ここで、定積分の性質を思い出すと、

復習

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$

だった。

復習より、
$S (a) = \int_{a}^{a} f (t) d t = 0$
である。

解答エ：０

問題文中のグラフより、 $S (x)$ が $0$ なのは
$S (- 1)$ ， $S (2)$
なんだけど、ここでは負の数の場合を問われているので、オカは
$- 1$
である。

解答オ：－, カ：１

さらに、 $S (x)$ のグラフをもとに $f (x)$ を考える。
まず、定積分と微分の関係を復習しよう。

復習

${[\int_{a}^{x} f (t) d t]}^{'} = f (x)$

復習より、
$S^{'} (x) = f (x)$
といえる。

よって、
$y = S (x)$ が極値をとる $x = 0$ ， $2$ のとき、 $f (x) = 0$ $y = S (x)$ が増加している $x < 0$ ， $2 < x$ のとき、 $f (x) > 0$ $y = S (x)$ が減少している $0 < x < 2$ のとき、 $f (x) < 0$ だ。

解答キ：０, ク：２, ケ：０, コ：０, サ：２

以上から、 $y = f (x)$ のグラフは、
${\begin{cases} x < 0 のとき、 0 < y \\ x = 0 のとき、 y = 0 \\ 0 < x < 2 のとき、 y < 0 \\ x = 2 のとき、 y = 0 \\ 2 < x のとき、 0 < y \end{cases}$
なので、あてはまるグラフの形は
①
である。

解答シ：１

アドバイス

ここでは、問題の流れのままに解説した。
もちろん、式Ａ'を微分すれば $f (x)$ の式ができるので、 $f (x)$ の式を求めてからグラフの特徴を考えることもできる。

(2)

以上から $y = S (x)$ と $y = f (x)$ の関係をまとめると、
$x = q$ のとき $S (x)$ が極値をとるなら、 $f (q) = 0$ $y = S (x)$ が増加している区間では、 $0 < f (x)$ $y = S (x)$ が減少している区間では、 $f (x) < 0$ である。

また、
$S (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$
なので、
$S (0) = 0$
となる。

選択肢から、これに当てはまらないものを２つ選ぶ。
⓪～④を一つずつ確認しよう。

以下、
$y = S (x)$ のグラフでは、赤い点は、傾きが $0$ である点オレンジの部分は、 $S (x)$ が増加している $x$ の範囲青い部分は、 $S (x)$ が増加している $x$ の範囲 $y = f (x)$ のグラフでは、赤い点は、 $f (x) = 0$ である点オレンジの部分は、 $0 < f (x)$ である $x$ の範囲青い部分は、 $f (x) < 0$ である $x$ の範囲を表している。
なので、両方のグラフで色分けと赤い点の $x$ 座標が違っていれば、矛盾したグラフだ。