大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試数学ⅡＢ第５問解説

(1)

確率変数の期待値，分散，標準偏差の復習から。

復習

表のような確率分布に従う確率変数 $X$ があるとき、

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$	計
$P (X)$	$P (x_{1})$	$P (x_{2})$	$\dots$	$P (x_{n})$	$1$

$X$ の期待値（平均） $E (X)$ は、
$E (X) = x_{1} \cdot P (x_{1}) + x_{2} \cdot P (x_{2}) +$
               $\dots + x_{n} \cdot P (x_{n})$ $X$ の分散 $V (X)$ は、
$V (X) = {x_{1} - E (X)}^{2} \cdot P (x_{1})$
               $+ {x_{2} - E (X)}^{2} \cdot P (x_{2})$
               $\dots + {x_{n} - E (X)}^{2} \cdot P (x_{n})$
$V (X)$ $= E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ 式Ａ $X$ の標準偏差 $σ (X)$ は、
$σ (X) = \sqrt{V (X)}$ 式Ｂである。

それから、確率変数の変換の復習もしておこう。

復習

確率変数 $X$ の
期待値（平均）を $E (X)$ 分散を $V (X)$ 標準偏差を $σ (X)$ とする。

$X$ と定数 $a$ ， $b$ を用いて、確率変数 $W$ を
$W = a X + b$ 式Ｃ
と定める。

このとき、 $W$ の
期待値（平均） $E (W) = a E (X) + b$ 式Ｄ分散 $V (W) = a^{2} V (X)$ 式Ｅ標準偏差 $σ (W) = \sqrt{V (W)}$
$= | a | σ (X)$ である。

まず $E (X^{2})$ を求める。
上の復習で、 $X^{2}$ の平均値が含まれるのは式Ａだけ。
なので、式Ａを使う。

問題文より、 $E (X) = - 7$ 問題文より $σ (X) = 5$ なので、式Ｂより、
$\sqrt{V (X)} = 5$
$V (X) = 25$

以上を式Ａに代入して、
$25 = E (X^{2}) - (- 7)^{2}$
$E (X^{2}) = 25 + 49$
$E (X^{2})$ $= 74$
であることが分かる。

解答ア：７, イ：４

さらに、 $W = 1000 X$ は、式Ｃの
$a$ を $1000$ $b$ を $0$ にした場合と考えられる。

よって、 $W$ の
期待値（平均）は、式Ｄより
$E (W) = 1000 \cdot (- 7) + 0$
$E (W)$ $= - 7 \cdot 10^{3}$ 分散は、式Ｅより
$V (W) = (1000)^{2} \cdot 25$
$V (W)$ $= 5^{2} \cdot (10^{3})^{2}$
$V (W)$ $= 5^{2} \cdot 10^{6}$ である。

解答ウ：３, エ：２, オ：６

(2)

$X$ は平均値が $- 7$ ，標準偏差が $5$ の正規分布に従うので、分布は図Ａのようになる。

図の固定

この赤い部分の面積を求めれば、それが物質Ａの量が減少しない確率（ $P (X ≧ 0)$ ）だ。
これを求める。

ということで、いつもの作業をしよう。
いつもの作業っていうのは、
標準化して正規分布表を見るだ。

まず、標準化の復習から。

復習

確率変数 $X$ の期待値（平均）を $E (X)$ ，標準偏差を $σ (X)$ とする。
$X$ を標準化した確率変数を $Z$ とすると、
$Z = \frac{X - E (X)}{σ (X)}$
とかける。

$X ≧ 0$
の両辺を標準化すると、上の復習より、
$\frac{X - (- 7)}{5} ≧ \frac{0 - (- 7)}{5}$
となる。これを計算すると
$\frac{X + 7}{5} ≧ \frac{7}{5}$
$\frac{X + 7}{5} ≧ 1.4$ 式Ｆ
となるから、
$P (X ≧ 0) = P (\frac{X + 7}{5} ≧ 1.4)$ 式Ｇ
である。

解答カ：１, キ：４

式Ｆの左辺の $\frac{X + 7}{5}$ は、正規分布に従う確率変数 $X$ を標準化したものなので、標準正規分布に従う。
問題文より、 $Z$ は標準正規分布に従う確率変数なので、
$\frac{X + 7}{5} = Z$
とかける。
よって、
$P (X ≧ 0) = P (Z ≧ 1.4)$
となる。
つまり、図Ａの赤い部分の面積は、図Ｂの赤い部分の面積と等しい。

図の固定

図Ｂは標準正規分布だから、正規分布表が使える。
正規分布表より、図Ｂの緑の部分の面積は
$0.4192$ 緑の部分と赤い部分を合わせた面積は
$0.5$ だ。

なので、赤い部分の面積は
赤 $= 0.5 - 0.4192$
赤$$ $= 0.0808$
赤$$ $≑ 0.08$
となる。

よって、
$P (X ≧ 0) = P (Z ≧ 1.4)$
$P (X ≧ 0)$ $≑ 0.08$
である。

解答ク：０, ケ：８

この正規分布に従う母集団から無作為に $50$ 人の標本をつくり、物質Ａの量が減少しない人数を $M$ とする。
クケより、母集団中の物質Ａの量が減少しない人の比率は $0.08$ なので、 $M$ は
$50$ 回の試行を行ったとき、確率 $0.08$ で起こる事象が何回起こるかという反復試行の問題と同じである。

反復試行なので、二項分布の復習をしよう。

復習

確率 $p$ で事象 $A$ が起こる試行を $n$ 回繰り返し、 $A$ が起こった回数を $M$ とすると、 $M$ の確率分布は二項分布 $B (n, p)$ である。
確率変数 $M$ の
期待値（平均） $E (M) = n p$ 分散 $V (M) = n p (1 - p)$ 標準偏差 $σ (M) = \sqrt{n p (1 - p)}$ になる。

復習より、問題の確率変数 $M$ は、二項分布
$B (50$ ， $0.08)$
に従う。

なので、 $M$ の

$\begin{aligned} 期待値 E (M) & = n p \\ = 50 \cdot 0.08 \\ = 4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 標準偏差 σ (M) & = \sqrt{n (p (1 - p)} \\ = \sqrt{50 \cdot 0.08 \cdot (1 - 0.08)} \end{aligned}$

途中式

\begin{aligned} = \sqrt{4 \cdot 0.92} \\ = \sqrt{3.68} \end{aligned}

≑ \sqrt{3.7}

である。

解答コ：４, サ：０, シ：３, ス：７

(3)

まず、標本平均の期待値と標準偏差の復習をしよう。

復習

母平均 $m$ ，母標準偏差 $σ$ の母集団から大きさ $n$ の標本を無作為に取り出すとき、標本平均 $\overset{―}{Y}$ の
期待値（平均） $E (\overset{―}{Y}) = m$ 分散 $V (\overset{―}{Y}) = \frac{σ^{2}}{n}$ 標準偏差 $σ (\overset{―}{Y}) = \frac{σ}{\sqrt{n}}$ である。

いま、
母平均は $m$ 母標準偏差は $6$ 標本の大きさは $100$ なので、復習より、問題の標本平均 $\overset{―}{Y}$ の
期待値（平均） $E (\overset{―}{Y}) = m$ 標準偏差 $σ (\overset{―}{Y}) = \frac{6}{\sqrt{100}}$
$= 0.6$ となる。

解答セ：０, ソ：６

さらに、標本平均の分布について復習する。

復習

母平均 $μ$ ，母標準偏差 $σ$ の母集団から大きさ $n$ の標本を取り出す。
このとき、標本平均は
母集団が正規分布に従うときには $n$ の値にかかわらす完全に、母集団がその他の分布のときには $n$ が大きければ近似的に、正規分布
$N (μ, \frac{σ^{2}}{n})$
に従う。

問題の確率変数 $Y$ はどんな確率分布をとるか分からないけれど、標本の大きさの $100$ が大きい数だとすると、復習より、
$\overset{―}{Y}$ は近似的に正規分布 $N (m, \frac{6^{2}}{100})$ に従う。

また、問題文中の式
$Z = \frac{\overset{―}{Y} - m}{セ . ソ}$
の右辺は、(2)の標準化の復習を見てもらうと分かるように $\overset{―}{Y}$ を標準化する式だ。
先に考えたように $\overset{―}{Y}$ は近似的に正規分布に従うから、それを標準化した $Z$ は近似的に標準正規分布に従う。

ここで、正規分布表から
$| Z | ≦ 1.64$
となる確率を求める。
この式の絶対値をはずすと
$- 1.64 ≦ Z ≦ 1.64$
なので、求める確率は図Ｃの緑の面積だ。

図の固定

正規分布表には縦軸より左の面積しか載ってないので、斜線の部分の面積を求めて２倍する。
正規分布表で $1.64$ を探すと、斜線の部分の面積は
$0.4495$
緑の部分の面積は、これを２倍して
$0.4495 \times 2 = 0.899 ≑ 0.90$
となる。

解答タ：９, チ：０

これを使い、信頼度 $90 %$ の母平均の信頼区間を求める。
その前に、母平均の推定について復習だ。

復習

母平均 $m$ の信頼区間は、標本の大きさを $n$ ，標本平均を $\overset{―}{Y}$ ，母標準偏差を $σ$ とすると、
$\overset{―}{Y} - z \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}} ≦ m ≦ \overset{―}{Y} + z \cdot \frac{σ}{\sqrt{n}}$
式Ｈ
となる。ただし $z$ は
信頼度 $95 %$ のとき、 $z = 1.96$ 信頼度 $99 %$ のとき、 $z = 2.58$

よって、母平均 $m$ の信頼区間は、式Ｈから
$- 10.2 - z \cdot \frac{6}{\sqrt{100}} ≦ m ≦ - 10.2 + z \cdot \frac{6}{\sqrt{100}}$
式Ｉ
とかける。

ところが、信頼度 $90 %$ のときの $z$ の値が分からない。
このサイトも含めて普通の解説には上の復習のように書いていて、信頼度 $90 %$ のときの $z$ は載っていない。
このようなときには次のような方法をとる。

アドバイス

図Ｄを標準正規分布の確率分布図とする。
信頼度 $c %$ のとき、式Ｈの $z$ の値には図Ｄの $z_{0}$ を使う。

長くなるので、なぜこうなるかの理由はここでは説明しない。
詳しくはこのページを見てもらいたい。

先ほど求めたように、図Ｃの緑の部分の面積の面積は
$0.90 = 90 %$
だった。
よって、アドバイスより、式Ｉの $z$ は
$z = 1.64$
だ。

これを式Ｉに代入して、
$\begin{aligned} - 10.2 - 1.64 \cdot & \frac{6}{\sqrt{100}} \\ ≦ m ≦ \\ - 10.2 + 1.64 \cdot \frac{6}{\sqrt{100}} \end{aligned}$
より

途中式

- 10.2 - 1.64 \cdot \frac{6}{10} ≦ m ≦ - 10.2 + 1.64 \cdot \frac{6}{10}

\frac{- 102 - 1.64 \times 6}{10} ≦ m ≦ \frac{- 102 + 1.64 \times 6}{10}

- 11.184 ≦ m ≦ - 9.216

となるので、選択肢の②が正しい。

解答ツ：２

第１問	[1]	解説
	[2]	解説
	[3]	解説
第２問	[1]	解説
第２問	[2]	解説
第３問		解説
第４問		解説
第５問		解説

第１問	[1]	解説
第１問	[2]	解説
第２問		解説
第３問		解説
第４問		解説
第５問		解説