$f(x)$が$x=-1$で極値をとるので、
$f^{\prime }(-1)=0$式Ａ
である。

解答ア：０

ここで
$f^{\prime }(x)=3x^2+2px+q$
だから、式Ａより
$3(-1{)}^2+2(-1)p+q=0$
なので
$3-2p+q=0$
$q=2p-3$式Ｂ
とかける。

また、$x=-1$のときの極値が$2$なので、
$f(-1)=2$
となるから
$(-1{)}^3+(-1{)}^{2}p+(-1)q=2$
より
$-1+p-q=2$
$p-q=3$式Ｃ
となる。

式Ｂと式Ｃの連立方程式を解く。
式Ｃに式Ｂを代入して、
$p-(2p-3)=3$
$p-2p+3=3$
$p=0$

これを式Ｂに代入して、
$q=2\cdot 0-3$
$q$$=-3$
である。

解答イ：０, ウ：－, エ：３

よって、
$f(x)=x^3-3x$
$f^{\prime }(x)=3x^2-3$式Ｄ
$f^{\prime }(x)$$=3(x^2-1)$
$f^{\prime }(x)$$=3(x+1)(x-1)$
となる。

以上より増減表を書くと、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f^{\prime }(x)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$
$f(x)$		$2$		$f(1)$

となる。
増減表より、極小値は
$x=1$
のとき
$f(1)=1^3-3\cdot 1$
$f(1)$$=-2$
である。

解答オ：１, カ：－, キ：２

次は放物線の接線の問題だ。

基本に忠実に、まずは接線$\ell$の傾きから。
$D$の式
$y=-k{x}^2$
を微分して、
$y^{\prime }=-2kx$
点Ａにおける接線なので、これに$x=a$を代入して、接線$\ell$の傾きは
$-2ka$
である。

また、$\ell$は点Ａ$(a$，$-k{a}^2)$を通る。

よって、$\ell$の式は
$y-(-k{a}^2)=-2ka(x-a)$
とかける。
これを変形して、$\ell$の式は
$y=-2kax+2k{a}^2-k{a}^2$
$y$$=-2kax+k{a}^2$①
である。

解答ク：－, ケ：２, コ：２

$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標は、式①に$y=0$を代入して、
$-2kax+k{a}^2=0$
$2kax=k{a}^2$
$x{\displaystyle =\frac{a}{2}}$
である。

解答サ：ａ, シ：２

ここまでで分かったことを図にすると、図Ａができる、

図Ａのオレンジの部分の面積$S$を求める。
問題文の流れ通り、赤で囲んだ部分の面積から青い部分の面積を引こう。

赤で囲んだ部分の面積は、
$\text{赤}=-{\displaystyle {\int }_0^a(-k{x}^2)dx}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\text{赤}}& ={\int }_0^{a}k{x}^{2}dx\\ & ={\left[\frac{k}{3}{x}^3\right]}_0^a\end{array}$$

$\phantom{\text{赤}}={\displaystyle \frac{k}{3}}{a}^3$
である。

解答ス：３, セ：３

青い部分の面積は、三角形の面積の公式より、
$\text{青}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot \text{底辺}\cdot \text{高さ}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\text{青}}& =\frac{1}{2}\cdot (a-\frac{a}{2})(0-k{a}^2)\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{a}{2}\cdot k{a}^2\end{array}$$

$\phantom{\text{青}}={\displaystyle \frac{k}{4}}{a}^3$
である。

$S=$赤$-$青
なので、
$S={\displaystyle \frac{k}{3}}{a}^3-{\displaystyle \frac{k}{4}}{a}^3$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{S}& =(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})k{a}^3\\ & =\frac{1}{12}k{a}^3\end{array}$$

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{k}{12}}{a}^3$
となる。

解答ソ：１, タ：２

点Ａが$C$上にあり、$\ell$が$C$に接するので、図Ｂのようなグラフが考えられる

このとき、
点Ａが$C$上にあるので、$(a$，$-k{a}^2)$を$C$の式に代入して、
$-k{a}^2=a^3-3a$
$k={\displaystyle \frac{a^3-3a}{-a^2}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{k}& =\frac{a^3}{-a^2}+\frac{-3a}{-a^2}\\ & =-a+\frac{3}{a}\end{array}$$

$\phantom{k}={\displaystyle \frac{3}{a}}-a$式Ｅ
である。

解答チ：３, ツ：ａ, テ：ａ

さらに、$\ell$が$C$に接するので、(2)で式①をつくったように $\ell$の式をもうひとつ作ろう。
$C$と$\ell$の接点を$(b$，$b^3-3b)$とする。

まずは接線$\ell$の傾きから。
$(b$，$b^3-3b)$における接線なので、式Ｄに$x=b$を代入して、接線$\ell$の傾きは
$3b^2-3$
である。

また、$\ell$は$(b$，$b^3-3b)$を通る。

よって、$\ell$の式は
$y-(b^3-3b)=(3b^2-3)(x-b)$

途中式

$$\begin{array}{rl}y& =(3b^2-3)(x-b)+(b^3-3b)\\ & =(3b^2-3)x-(3b^3-3b)+(b^3-3b)\end{array}$$ より

$y=3(b^2-1)x-2b^3$②
である。

解答ト：３, ナ：１, ニ：２

ここまでは悩むことはないけど、次の行の
$f(x)-g(x)=(x-$ヌ${)}^2(x+$ネ$b)$
の左辺の
$f(x)-g(x)$
が何を意味するのか分からない人もいると思う。
この式の意味が分からなくても問題は解けるけど、せっかくだから説明しておこう。

以上の説明より
$f(x)-g(x)=0$式Ｆ
の解は$C$と$\ell$の共有点だけど、$f(x)-g(x)$を作っているので共有点を求めよと言うのだろう。

$f(x)=x^3-3x$ $g(x)=3(b^2-1)x-2b^3$ なので、
$\begin{array}{rl}f(x)-g(x)=(x^3-& 3x)\\ & -\{3(b^2-1)x-2b^3\}\end{array}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{f(x)-g(x)}& =x^3-3x-3(b^2-1)x+2b^3\\ & =x^3-3(1+b^2-1)x+2b^3\end{array}$$

$\phantom{f(x)-g(x)}=x^3-3b^{2}x+2b^3$式Ｇ
とかける。

この式Ｇからヌネの式をつくる。
三次式なので面倒に見えるけど、$C$と$\ell$は$x=b$で接する。
なので、式Ｆは$x=b$の重解をもつはずだから、式Ｇは
$f(x)-g(x)=(x-b{)}^2(x+Q)$式Ｇ'
と因数分解できるはずだ。

解答ヌ：ｂ

ここまでくると、式Ｇを因数分解して式Ｇ'を作るより、式Ｇ'を展開して式Ｇと見比べた方が早い。
今は$Q$が分かればよいので、定数項だけを展開して、
$(-b{)}^2\times Q=Q{b}^2$
これが式Ｇの定数項（赤い部分）だから、
$Q{b}^2=2b^3$
$Q=2b$
なので、式Ｇ'は
$f(x)-g(x)=(x-b{)}^2(x+$$2b$$)$
となる。

解答ネ：２

以上より、$C$と$\ell$の共有点の$x$座標は
$b$，$-2b$
であることが分かった。

一方、図Ｂより、$C$と$\ell$の共有点の$x$座標は
$b$，$a$
だから、
$a=-2b$式Ｈ
である。

また、式①の
$y=$$-2ka$$x$$+k{a}^2$
と、式②の
$y=$$3(b^2-1)$$x$$-2b^3$
は両方とも$\ell$の式だから、同じ式である。
２つの式の$x$の係数（赤い部分）・定数項（青い部分）は等しいので、 $-2ka=3(b^2-1)$式Ｉ $k{a}^2=-2b^3$式Ｊ とかける。

傾きを使うように指示があるので、式Ｉを使う。
式Ｊを使っても同じ答えが出るけど、計算が面倒だ。

$a^2$の値を求めるんだけど、式Ｉを見ると、
$k$ $b^2$ が含まれている。
じゃまなので消そう。

式Ｈの両辺を２乗して、
$a^2=4b^2$
$b^2={\displaystyle \frac{a^2}{4}}$
これと、式Ｅを式Ｉに代入して、
$-2({\displaystyle \frac{3}{a}}-a)a=3({\displaystyle \frac{a^2}{4}}-1)$

途中式

$-6+2a^2={\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2-3$
$2a^2-{\displaystyle \frac{3}{4}}{a}^2=3$
両辺を$4$倍して、
$8a^2-3a^2=12$
$5a^2=12$

$a^2={\displaystyle \frac{12}{5}}$式Ｋ
となる。

解答ノ：１, ハ：２, ヒ：５

もう少しだ。
最後に、このときの$S$を求める。

(2)のソタで求めたように、$S$は
$S={\displaystyle \frac{k}{12}}{a}^3$式Ｌ
だった。
まず$k$を消す。

式Ｌに式Ｅを代入して、
$S={\displaystyle \frac{\frac{3}{a}-a}{12}}\cdot a^3$

途中式

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{1}{12}}({\displaystyle \frac{3}{a}}-a)a^3$

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{1}{12}}(3a^2-a^4)$

これに式Ｋを代入して、このときの$S$は、
$S={\displaystyle \frac{1}{12}\{3\cdot \frac{12}{5}-{\left(\frac{12}{5}\right)}^2\}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{S}& =\frac{3}{5}-\frac{12}{5^2}\\ & =\frac{15}{25}-\frac{12}{25}\end{array}$$

$\phantom{S}={\displaystyle \frac{3}{25}}$
である。

解答フ：３, ヘ：２, ホ：５