$y=x^2+(2a-b)x+a^2+1$式Ａ
を平方完成するのは面倒なので、次の方法を使おう。

復習

$y=a{x}^2+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$

復習より、頂点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{-(2a-b)}{2\cdot 1}}$式Ｂ
$={\displaystyle \frac{b}{2}}-a$
である。

頂点の$y$座標は、式Ｂを式Ａの$x$に代入して、
${\left({\displaystyle \frac{2a-b}{2}}\right)}^2-(2a-b)\cdot {\displaystyle \frac{2a-1}{2}}+a^2+1$

途中式

$$\begin{array}{rl}& =\frac{1}{2^2}(2a-b{)}^2-\frac{1}{2}(2a-b{)}^2+a^2+1\\ & =\{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\}(2a-b{)}^2+a^2+1\\ & =-\frac{1}{4}(2a-b{)}^2+a^2+1\\ & =-\frac{1}{4}(4a^2-4ab+b^2)+a^2+1\\ & =-a^2+ab-\frac{b^2}{4}+a^2+1\end{array}$$

$=-{\displaystyle \frac{b^2}{4}}+ab+1$
となる。

以上より、グラフ$G$の頂点の座標は
$({\displaystyle \frac{b}{2}}-a,-{\displaystyle \frac{b^2}{4}}+ab+1)$式Ｃ
である。

解答チ：２, ツ：４, テ：１

グラフ$G$が点$(-1,6)$を通るので、式Ａの$(x,y)$に$(-1,6)$を代入して、
$(-1{)}^2+(2a-b)(-1)+a^2+1=6$
これを計算すると、
$1-2a+b+a^2+1=6$
$a^2-2a+1=5-b$
$(a-1{)}^2=5-b$式Ｄ
とかける。

この式の左辺は実数の２乗なので、
$(a-1{)}^2\geqq 0$
だから、右辺も
$5-b\geqq 0$
である。

これを変形すると
$b\leqq 5$
となるので、$b$の最大値は
$5$
であることが分かる。

解答ト：５

そのときの$a$の値は、$b=5$を式Ｄに代入して、
$(a-1{)}^2=5-5$
$(a-1{)}^2=0$
$a=1$
となる。

解答ナ：１

$\{\begin{array}{l}b=5\\ a=1\end{array}$
のときのグラフ$G$の頂点の座標は、これを式Ｃに代入して、
$({\displaystyle \frac{5}{2}}-1,-{\displaystyle \frac{5^2}{4}}+1\cdot 5+1)$

途中式

$$\begin{array}{rl}& =(\frac{5}{2}-\frac{2}{2},-\frac{25}{4}+\frac{20}{4}+\frac{4}{4})\\ & =(\frac{5-2}{2},\frac{-25+20+4}{4})\end{array}$$

$=({\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{1}{4}})$
である。

$y=x^2$のグラフの頂点は$(0,0)$なので、
グラフ$G$は、$y=x^2$のグラフを
$\{\begin{array}{l}x\text{方向に}{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ y\text{方向に}{\displaystyle -\frac{1}{4}}\end{array}$
平行移動したものである。

解答ニ：３, ヌ：２, ネ：－, ノ：１, ハ：４