問題を解きはじめる前に、図のような絵を描こう。
何色の袋にどんな球が入っているか、目に見える形にしておいた方がミスも減るし、思い違いも防げる。
面倒でも必ず絵を書くことを勧める。

まず、１回目の操作で赤い袋から赤球が出る確率から。
１回目の操作で赤い袋が選ばれるのは さいころで３の倍数以外の目が出たときなので、確率は $\displaystyle \frac{4}{6}$ 赤い袋から赤球が取り出される確率は、$\displaystyle \frac{2}{3}$ この両方が起こらないといけないので、かけ算をして、求める確率は
$\displaystyle \frac{4}{6}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$
である。

解答ア：４, イ：９

２回目の操作が白い袋で行われるのは、１回目の操作で白球が出たとき。
なので、１回目の操作で白球が出る確率を求めよう。

(1)で赤球が出る確率を求めたので、余事象を使うことにする。

赤球が出る確率は、(1)より、
$\displaystyle \frac{4}{9}+\frac{1}{6}$
$=\displaystyle \frac{4\cdot 6+1\cdot 9}{9\cdot 6}$
$=\displaystyle \frac{4\cdot 2+1\cdot 3}{9\cdot 2}$
$=\displaystyle \frac{11}{9\cdot 2}$式Ａ

白球が出るのは、この余事象なので、
$1-\displaystyle \frac{11}{9\cdot 2}$
$=\displaystyle \frac{9\cdot 2-11}{9\cdot 2}$
$=\displaystyle \frac{7}{18}$
である。

解答オ：７, カ：１, キ：８

２回目の操作で白球が出るのは、
白い袋から白球が出るパターンＡ 赤い袋から白球が出るパターンＢ の２パターン。

２回目の操作で白球が出るのは、パターンＡとパターンＢのどちらでもよいので、たし算をして、
$\displaystyle \frac{1}{2}p+\frac{1}{3}(1-p)$
$=\displaystyle \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)p+\frac{1}{3}$
$=\displaystyle \frac{1}{6}p+\frac{1}{3}$式Ｂ
となる。

解答ク：１, ケ：６

(2)より、１回目の操作で白球が出る確率は
$\displaystyle \frac{7}{18}$
と分かっているので、
$p=\displaystyle \frac{7}{18}$
である。

これを式Ｂに代入して、２回目の操作で白球が出る確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{7}{18}+\frac{1}{3}$
$=\displaystyle \frac{7}{6\cdot 6\cdot 3}+\frac{6\cdot 6}{6\cdot 6\cdot 3}$
$=\displaystyle \frac{43}{6\cdot 6\cdot 3}$式Ｃ
$=\displaystyle \frac{43}{108}$
となる。

解答コ：４, サ：３, シ：１, ス：０, セ：８

２回目の操作で白球が出る確率を$q$とすると、クケを求めたのと全く同じ計算から、３回目の操作で白球が取り出される確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}q+\frac{1}{3}$式Ｄ
とかける。

コサシスセより、２回目の操作で白球が出る確率は
$\displaystyle \frac{43}{108}$
と分かっているので、これを式Ｄの$q$に代入して、
$\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{43}{108}+\frac{1}{3}$
$=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{43}{108}+\frac{2}{6}\cdot\frac{108}{108}$
$=\displaystyle \frac{43+2\cdot 108}{6\cdot 108}$
$=\displaystyle \frac{259}{6\cdot 108}$式Ｅ
$=\displaystyle \frac{259}{648}$
となる。

解答ソ：２, タ：５, チ：９, ツ：６, テ：４, ト：８

次は、条件付き確率の問題だ。
今回の問題では、この問題のように表を書いて考える方法が使えないので、教科書通りの解き方をしよう。

まず、条件付き確率の復習から。

復習

事象$A$が起こる確率を$P(A)$，事象$A$と事象$B$の両方が起こる確率を$P(A\cap B)$とするとき、
$A$が起こったときに$B$が起こる条件付き確率$P_{A}(B)$は、
$P_{A}(B)=\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}$
だった。

復習より、ナニヌネで問われている条件付き確率は
$\displaystyle \frac{\text{２回目の操作で白い袋から白球が出る確率}}{\text{２回目の操作で白球が出る確率}}$式Ｆ
とかける。

式Ｆの分子の「２回目の操作で白い袋から白球が出る確率」は、(3)のパターンＡなので、
$\displaystyle \frac{1}{2}p$
だけど、$p=\displaystyle \frac{7}{18}$だったので
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{7}{18}$
である。

式Ｆの分母の「２回目の操作で白球が出る確率」は、式Ｃより、
$\displaystyle \frac{43}{6\cdot 6\cdot 3}$
だった。

以上より、式Ｆは
$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{18}}{\frac{43}{6\cdot 6\cdot 3}}$
とかける。
これを計算して、
$\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{7}{18}}{\frac{43}{6\cdot 6\cdot 3}}=\frac{1\cdot 7\cdot 6\cdot 6\cdot 3}{2\cdot 18\cdot 43}$
          $=\displaystyle \frac{7\cdot 3}{43}$
          $=\displaystyle \frac{21}{43}$
となる。

解答ナ：２, ニ：１, ヌ：４, ネ：３

また、ノハヒフヘで問われている条件付き確率は
$\displaystyle \frac{\text{赤球→赤球→白球 の順に出る確率}}{\text{３回目の操作で取りだした球が白球である確率}}$式Ｇ
とかける。

式Ｇの分子の「赤球→赤球→白球 の順に出る確率」は、
１回目の操作で赤球が出る確率は、式Ａより、$\displaystyle \frac{11}{9\cdot 2}$ ２回目の操作で赤球が出るのは、赤い袋から赤球が出る確率なので、$\displaystyle \frac{2}{3}$ ３回目の操作で白球が出るのは、赤い袋から白球が出る確率なので、$\displaystyle \frac{1}{3}$ このすべてが起こらないといけないので、
$\displaystyle \frac{11}{9\cdot 2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}$
である。

式Ｇの分母の「３回目の操作で取りだした球が白球である確率」は、式Ｅより、
$\displaystyle \frac{259}{6\cdot 108}$
だった。

以上より、式Ｇは
$\displaystyle \frac{\frac{11}{9\cdot 2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{259}{6\cdot 108}}$
とかける。
これを計算して、
$\displaystyle \frac{\frac{11}{9\cdot 2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}}{\frac{259}{6\cdot 108}}=\frac{11\cdot 2\cdot 1\cdot 6\cdot 108}{9\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 259}$
               $=\displaystyle \frac{11\cdot 2\cdot 108}{9\cdot 3\cdot 259}$
               $=\displaystyle \frac{11\cdot 2\cdot 4}{259}$
               $=\displaystyle \frac{88}{259}$
となる。

解答ノ：８, ハ：８, ヒ：２, フ：５, ヘ：９