真数は正なので、問題文中の式②の真数部分
$x+2$
と
$y+3$
は正である。
よって、
$\{\begin{array}{l}0<x+2\\ 0<y+3\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}-2<x\\ -3<y\end{array}$式Ａ
である。

解答タ：２

ここで、底の変換公式を復習すると、

公式

${\displaystyle {\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}}$

だった。
よって、
${\displaystyle {\log }_4(y+3)=\frac{{\log }_2(y+3)}{{\log }_{2}4}}$
${\displaystyle {\log }_4(y+3)}$${\displaystyle =\frac{{\log }_2(y+3)}{2}}$式Ｂ
である。

解答チ：２

式Ｂを問題文中の式②に代入して、
${\displaystyle {\log }_2(x+2)-2\cdot \frac{{\log }_2(y+3)}{2}=-1}$
これを変形すると
${\log }_2(x+2)-{\log }_2(y+3)=-1$
${\displaystyle {\log }_2\frac{x+2}{y+3}=-1}$式Ｃ
となるけど、この式は左辺が$\log$で右辺が$\log$じゃないので、このままだとどうにもならない。
なので、右辺も$\log$にしよう。

${\log }_{a}a=1$
なので、式Ｃの右辺は
$-{\log }_{2}2={\log }_2{2}^{-1}$
$-{\displaystyle {\log }_{2}2}$${\displaystyle ={\log }_2\frac{1}{2}}$
とかける。

だから、式Ｃは
${\displaystyle {\log }_2\frac{x+2}{y+3}={\log }_2\frac{1}{2}}$
より
${\displaystyle \frac{x+2}{y+3}=\frac{1}{2}}$
となる。
これを変形して、
$2(x+2)=y+3$
$y=2x+4-3$
$y$$=2x+1$④
である。

解答ツ：２, テ：１

${\displaystyle t={\left(\frac{1}{3}\right)}^x}$式Ｄ
とおき、式④を用いて問題文中の式③を$t$で表すので、式④を式③に代入だ。
${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x+1}-11\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+1}+6=0}$
を変形して、
${\displaystyle \left(\frac{1}{3}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x}-11\cdot \left(\frac{1}{3}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^x+6=0}$
${\displaystyle \frac{1}{3}\cdot {\left\{{\left(\frac{1}{3}\right)}^x\right\}}^2-\frac{11}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^x+6=0}$
これに式Ｄを代入して、
${\displaystyle \frac{1}{3}{t}^2-\frac{11}{3}t+6=0}$
$t^2-11t+6\cdot 3=0$
$t^2-11t+18=0$⑤
である。

解答ト：１, ナ：１, ニ：１, ヌ：８

問題の流れからは外れるけど、説明の都合上、先に式⑤の方程式を解いておく。

式⑤を因数分解して、
$(t-2)(t-9)=0$
なので、
$t=2$，$9$式Ｅ
である。

式Ｅで解が２つ出来たけど、タで考えたように、$x$，$y$には範囲がある。
なので、$t$にも範囲がある。
だから、式Ｅの２つの解が両方とも答えだとは限らない。
$t$の範囲を求めよう。

式Ａより $-2<x$ で、${\displaystyle \frac{1}{3}}$ は $1$ より小さいので、
${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^x<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}}$

これに式Ｄを代入して、
${\displaystyle t<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}}$
$t<3^2$
$t<9$式Ｆ

また、
${\displaystyle 0<{\left(\frac{1}{3}\right)}^x}$
なので、
$0<t$式Ｇ
だから、式Ｆ，式Ｇをあわせると
$0<t<9$⑥
となる。

解答ネ：０, ノ：９

よって、式Ｅの２つの解のうち、$9$は不適。
式⑤の方程式の解は
$t=2$
のひとつになる。

解答ハ：２

$t=2$のときの$x$，$y$を求める。
まず$x$から。
$t$と$x$の関係なので、式Ｄだ。

式Ｄに$t=2$を代入して、
${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^x=2}$式Ｈ
である。

ここで、指数と対数の関係の復習をすると、

復習

$0<a$，$0<b$のとき、
${\log }_{a}b=c$
   $\Updownarrow$
$a^c=b$

復習より、式Ｈは
${\log }_{\frac{1}{3}}2=x$
とかける。
この底を$3$に変換して、
$x={\displaystyle \frac{{\log }_{3}2}{{\log }_3\frac{1}{3}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{x}& =\frac{{\log }_{3}2}{-1}\\ & =-{\log }_{3}2\\ & ={\log }_3{2}^{-1}\end{array}$$

$\phantom{x}={\log }_3{\displaystyle \frac{1}{2}}$
となる。

解答ヒ：１, フ：２

別解

問題用紙のヒフの式を見ると、答えは$3$が底の$\log$で表すようだ。
なので、式Ｈの両辺の底が$3$の対数をとって、
${\log }_3{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^x={\log }_{3}2$

途中式

${\log }_3(3^{-1}{)}^x={\log }_{3}2$
$-x{\log }_{3}3={\log }_{3}2$
$-x={\log }_{3}2$

$x=-{\log }_{3}2$
$x{\displaystyle }$${\displaystyle ={\log }_3\frac{1}{2}}$
である。

解答ヒ：１, フ：２

この$x$を$y$に変えるので、式④だ。
式④に$x={\log }_3{\displaystyle \frac{1}{2}}$を代入して、
$y=2{\log }_3{\displaystyle \frac{1}{2}}+1$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{y}& ={\log }_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\log }_{3}3\\ & ={\log }_3\{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\times 3\}\end{array}$$

$\phantom{y}={\log }_3{\displaystyle \frac{3}{4}}$
となる。

解答ヘ：３, ホ：４