図の固定

△$\mathrm{DBC}$を、オレンジの部分と黄色い部分に分けて考えよう。

オレンジの部分の面積を$S_1$とすると、
$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}}$
黄色い部分の面積を$S_2$とすると、
$S_2={\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AC}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{CAD}}$
なので、求める三角形の面積$S$は
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}+\frac{1}{2}\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AC}\sin \mathrm{\angle }\mathrm{CAD}}$式Ｄ
とかける。

オカキと式Ａより、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{BAC}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{15}}{4}}$ $\mathrm{AB}=3$ $\mathrm{AC}=2$ コより、$\mathrm{AD}=4$ なので、式Ｄは
$S=$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$\cdot 3\cdot$$2{\displaystyle \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}}$$+$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$\cdot 4\cdot$${\displaystyle 2\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}}$
$S{\displaystyle }$$=$${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}}$$(3+4)$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{7\sqrt{15}}{4}}$
となる。

解答サ：７, シ：１, ス：５, セ：４

以下のような解き方も出来る。実は解法１とやっていることは同じだけれど。

図の固定

△$\mathrm{DBC}$を、$\mathrm{BD}$を底辺とし、高さを求めることで面積を求めよう。
点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{BD}$に垂線をおろし、その足を点$\mathrm{F}$とすると、△$\mathrm{DBC}$の高さは$\mathrm{CF}$である。
これを求める。

図Ｄの緑の三角形は$\mathrm{\angle }\mathrm{AFC}={90}^{\circ }$の直角三角形なので、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{CAF}=\frac{\mathrm{CF}}{\mathrm{AC}}}$式Ｅ
とかける。

式Ａより、
${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{15}}{4}}$
なので、式Ｅは
${\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\mathrm{CF}}{2}}$
両辺を２倍して、
${\displaystyle \mathrm{CF}=\frac{\sqrt{15}}{2}}$
となる。

△$\mathrm{DBC}$の面積を$S$とすると、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot }$底辺$\cdot$高さ
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \mathrm{BD}\cdot \mathrm{CF}}$
より、
$S={\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{15}}{2}}$
$S{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{7\sqrt{15}}{4}}$
となる。

解答サ：７, シ：１, ス：５, セ：４

ヘロンの公式を使う方法もある。

図の固定

図Ｅ中の緑の三角形と青い三角形は合同なので、
$\mathrm{CD}=4$
である。

三辺の長さが分かったので、
$$\begin{array}{rl}s& =\frac{\mathrm{DB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CD}}{2}\\ & =\frac{7+4+4}{2}\\ & =\frac{15}{2}\end{array}$$ とすると、ヘロンの公式より、△$\mathrm{DBC}$の面積$S$は
$S=\sqrt{s(s-\mathrm{DB})(s-\mathrm{BC})(s-\mathrm{CD})}$
なので、
$S=\sqrt{{\displaystyle \frac{15}{2}}({\displaystyle \frac{15}{2}}-7)({\displaystyle \frac{15}{2}}-4)({\displaystyle \frac{15}{2}}-4)}$

解答サ：７, シ：１, ス：５, セ：４