大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試 数学ⅠＡ 第２問 [1] 解説

ア～キ

まず$\cos\angle \mathrm{BAC}$から。
３つの辺が分かっていて、$\cos$を問われているので、余弦定理だ。

図Ａ
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡＢ第２問[1] 解説図Ａ

図Ａの三角形に余弦定理を使って、
$\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cos\angle \mathrm{BAC}$
より
$4^{2}=3^{2}+2^{2}-2\cdot 3\cdot 2\cos\angle \mathrm{BAC}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}=\frac{3^{2}+2^{2}-4^{2}}{2\cdot 3\cdot 2}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{-3}{2\cdot 3\cdot 2}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =-\frac{1}{4}$
となる。

解答ア：－, イ：１, ウ：４

$\cos\angle \mathrm{BAC} \lt 0$ なので、$\angle \mathrm{BAC}$は鈍角である。

解答エ：２

さらに、
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\cos^{2}\angle \mathrm{BAC}=1$
より、
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=1$
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}=1-\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{4^{2}-1}{4^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{15}{4^{2}}$
$0 \lt \sin\angle \mathrm{BAC}$なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
である。

解答オ：１, カ：５, キ：４

ク～セ

$\mathrm{AC}$の垂直二等分線を$\mathrm{DE}$とすると、図Ｂができる。

図Ｂ
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡＢ第２問[1] 解説図Ｂ

ここで、$\angle \mathrm{BAC}$（図Ｂの青い角）と$\angle \mathrm{CAD}$（赤い角）をたすと$180^{\circ}$だから、
$\sin\angle \mathrm{CAD}=\sin\angle \mathrm{BAC}$ $\cos\angle \mathrm{CAD}=-\cos\angle \mathrm{BAC}$ より、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{15}}{4}$式Ａ $\displaystyle \cos\angle \mathrm{CAD}=\frac{1}{4}$式Ｂ である。

解答ク：１, ケ：４

図Ｂの緑の三角形は$\angle \mathrm{AED}=90^{\circ}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{CAD}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{D}}$式Ｃ
とかける。
点$\mathrm{E}$は$\mathrm{AC}$の中点なので、$\mathrm{AE}=1$ 式Ｂより、$\displaystyle \cos\angle \mathrm{CAD}=\frac{1}{4}$ なので、式Ｃは
$\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{1}{\mathrm{A}\mathrm{D}}$
$\mathrm{AD}=4$
となる。

解答コ：４

最後の△$\mathrm{DBC}$の面積は、何通りか解き方が考えられる。
以下に３通り載せておいた。あまり回り道な解法は省略した。

解法１

図Ｃ
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡＢ第２問[1] 解説図Ｃ

△$\mathrm{DBC}$を、オレンジの部分と黄色い部分に分けて考えよう。

オレンジの部分の面積を$S_{1}$とすると、
$S_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin\angle \mathrm{BAC}$
黄色い部分の面積を$S_{2}$とすると、
$S_{2}=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AC}\sin\angle \mathrm{CAD}$
なので、求める三角形の面積$S$は
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin\angle \mathrm{BAC}+\frac{1}{2}\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AC}\sin\angle \mathrm{CAD}$式Ｄ
とかける。

オカキと式Ａより、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}=\sin\angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ $\mathrm{AB}=3$ $\mathrm{AC}=2$ コより、$\mathrm{AD}=4$ なので、式Ｄは
$S=$$\displaystyle \frac{1}{2}$$\cdot 3\cdot $$2\displaystyle \cdot\frac{\sqrt{15}}{4}$$+$$\displaystyle \frac{1}{2}$$\cdot 4\cdot $$\displaystyle 2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}$
$S\displaystyle $$=$$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}$$(3+4)$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7\sqrt{15}}{4}$
となる。

解答サ：７, シ：１, ス：５, セ：４

解法２

以下のような解き方も出来る。実は解法１とやっていることは同じだけれど。

図Ｄ
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡＢ第２問[1] 解説図Ｄ

△$\mathrm{DBC}$を、$\mathrm{BD}$を底辺とし、高さを求めることで面積を求めよう。
点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{BD}$に垂線をおろし、その足を点$\mathrm{F}$とすると、△$\mathrm{DBC}$の高さは$\mathrm{CF}$である。
これを求める。

図Ｄの緑の三角形は$\angle \mathrm{AFC}=90^{\circ}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{CAF}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$式Ｅ
とかける。

式Ａより、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{CAD}=\frac{\sqrt{15}}{4}$
なので、式Ｅは
$\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{4}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{F}}{2}$
両辺を２倍して、
$\displaystyle \mathrm{CF}=\frac{\sqrt{15}}{2}$
となる。

△$\mathrm{DBC}$の面積を$S$とすると、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot$底辺$\cdot$高さ
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \mathrm{BD} \cdot \mathrm{CF}$
より、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 7\cdot\frac{\sqrt{15}}{2}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7\sqrt{15}}{4}$
となる。

解答サ：７, シ：１, ス：５, セ：４

解法３

ヘロンの公式を使う方法もある。

図Ｅ
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡＢ第２問[1] 解説図Ｅ

図Ｅ中の緑の三角形と青い三角形は合同なので、
$\mathrm{CD}=4$
である。

三辺の長さが分かったので、
$s=\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{B}+\mathrm{B}\mathrm{C}+\mathrm{C}\mathrm{D}}{2}$
$s\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7+4+4}{2}$
$s\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15}{2}$
とすると、ヘロンの公式より、△$\mathrm{DBC}$の面積$S$は
$S=\sqrt{s(s-\mathrm{D}\mathrm{B})(s-\mathrm{B}\mathrm{C})(s-\mathrm{C}\mathrm{D})}$
なので、
$S=\sqrt{\frac{15}{2}\left(\frac{15}{2}-7\right)\left(\frac{15}{2}-4\right)\left(\frac{15}{2}-4\right)}$

途中式 $S$$=\sqrt{\frac{15}{2}\left(\frac{15}{2}-\frac{14}{2}\right)\left(\frac{15}{2}-\frac{8}{2}\right)^{2}}$
$S$$=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{7^{2}}{2^{2}}}$
$S$$=\sqrt{\frac{15\cdot 7^{2}}{2^{4}}}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7}{2^{2}}\sqrt{15}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7\sqrt{15}}{4}$
となる。

解答サ：７, シ：１, ス：５, セ：４