大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試 数学ⅠＡ 第１問 [2] 解説
(1)
ふたつの整数の奇数・偶数の問題なので、表を書いて考えよう。
条件$p$を満たす集合は表Ａの赤い部分。なので、$\overline{p}$は表の緑の部分である。
| $p$ | $m$ | ||
|---|---|---|---|
| 奇数 | 偶数 | ||
| $n$ | 奇数 | ||
| 偶数 | |||
$m$が奇数のとき、表Ａの緑の範囲に入るためには、$n$は偶数でなければならない。
解答シ：０
$m$が偶数のとき、$n$が偶数・奇数のどちらであっても、表Ａの緑の範囲に入る。
解答ス：２
(2)
アドバイス
必要条件・十分条件の問題は、一般的には
$p\Rightarrow q$ ×
$p\Leftarrow q$ ○
なので、必要条件
みたいに解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。なので、図や表で表せるときは、次の復習のように集合の大小で考える方がおすすめ。
復習
![大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｂ](_image/1A_1_2_01.svg)
図Ｂで、
$p$は$q$の必要条件
$q$は$p$の十分条件
である。
つまり、片方の集合がもう片方に含まれるとき、
大きい集合は小さい集合の必要条件
小さい集合は大きい集合の十分条件
である。
「大は小の必要条件・小は大の十分条件。」
呪文のように憶えておこう。
![大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｃ](_image/1A_1_2_02.svg)
図Ｃのようにふたつの集合が等しい場合は、必要十分条件となる。
![大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｄ](_image/1A_1_2_03.svg)
![大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠＡ第１問[2] 解説図Ｄ](_image/1A_1_2_04.svg)
図Ｄのように、片方がもう片方を含むような関係でない場合には、必要条件でも十分条件でもない。
というわけで、条件$q$，$r$も$p$と同じように条件を満たす集合の表を書こう。
条件$q$
まず、奇数・偶数のかけ算の復習から。
復習
奇数$\times$奇数$=$奇数
奇数$\times$偶数$=$偶数
偶数$\times$偶数$=$偶数
となる。
つまり、かける数にひとつでも偶数が含まれていれば、積は偶数になる。
復習より、
$3mn$が奇数 $\Leftrightarrow\ m$も$n$も奇数
なので、条件$q$を満たす集合は表Ｅの赤い範囲である。
| $q$ | $m$ | ||
|---|---|---|---|
| 奇数 | 偶数 | ||
| $n$ | 奇数 | ||
| 偶数 | |||
条件$r$
これも、奇数・偶数のたし算の復習から。
復習
奇数$+$奇数$=$偶数
奇数$+$偶数$=$奇数
偶数$+$偶数$=$偶数
となる。
さらに言うと、偶数の項の数に関係なく、
たし算の中に奇数の項が奇数個あれば、和は奇数
たし算の中に奇数の項が偶数個（０個もOK）あれば、和は偶数
になる。
復習より、$m+5n$が偶数であるためには、
$m$と$5n$の両方が奇数☆…パターンＡ
$m$と$5n$の両方が偶数☆…パターンＢ
のどちらかでなければならない。
パターンＡ
$m$は奇数
$5n$が奇数なので、$n$は奇数
より、パターンＡになるのは表ＦのＡの部分。
パターンＢ
$m$は偶数
$5n$が偶数なので、$n$は偶数
より、パターンＢになるのは表ＦのＢの部分。
よって、条件$r$を満たす集合は表Ｆの赤い範囲である。
| $r$ | $m$ | ||
|---|---|---|---|
| 奇数 | 偶数 | ||
| $n$ | 奇数 | Ａ | |
| 偶数 | Ｂ | ||
集合ができれば勝ったも同然。
$p$の集合（表Ａの赤い部分）と$q$の集合（表Ｅの赤い部分）を見比べると、同じ集合であることが分かる。
なので、$p$は$q$であるための必要十分条件。
解答セ：０
$p$の集合（表Ａの赤い部分）と$r$の集合（表Ｆの赤い部分）を見比べると、$p$が$r$に含まれていることが分かる。
なので、$p$は$r$であるための十分条件。
解答ソ：２
$\overline{p}$の集合（表Ａの緑の部分）と$r$の集合（表Ｆの赤い部分）を見比べると、どちらの集合も他方を含んでいない。
なので、$\overline{p}$は$r$であるための必要条件でも十分条件でもない。
解答タ：３