大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試数学ⅡＢ第３問解説

(1)

初項が $3$ ，公比が $4$ の等比数列は、
初項が $3$ 第二項が $3 \times 4 = 12$ なので、
$\begin{aligned} S_{2} & = 3 + 12 \\ = 15 \end{aligned}$ である。

解答ア：１, イ：５

また、数列 ${T_{n}}$ の階差数列が ${S_{n}}$ なので、アイで求めたこととあわせて、図Ａのようになる。

図の固定

図Ａより、
$\begin{aligned} T_{2} & = - 1 + 3 \\ = 2 \end{aligned}$ である。

解答ウ：２

別解

(2)で ${S_{n}}$ ， ${T_{n}}$ の一般項を問われているので、上の解説では一般項を使わずに解いた。
けれど、どうせ(2)で一般項を答えるのなら、先に求めておいた方が楽とも考えられるし。
先に一般項を求める場合は、次のような解き方になる。
一般項の求め方は(2)の解説を見てもらいたい。

$S_{n} = 4^{n} - 1$
なので、 $n$ に $2$ を代入して
$\begin{aligned} S_{2} & = 4^{2} - 1 \\ = 15 \end{aligned}$ である。

解答ア：１, イ：５

$T_{n} = \frac{4^{n}}{3} - n - \frac{4}{3}$
なので、 $n$ に $2$ を代入して
$T_{2} = \frac{4^{2}}{3} - 2 - \frac{4}{3}$

途中式

\begin{aligned} = \frac{4^{2} - 2 \cdot 3 - 4}{3} \\ = \frac{6}{3} \end{aligned}

= 2

である。

解答ウ：２

(2)

等比数列の和の公式から、
$\begin{aligned} S_{n} & = \frac{3 (1 - 4^{n})}{1 - 4} \\ = \frac{3 (1 - 4^{n})}{- 3} \\ = - (1 - 4^{n}) \\ = 4^{n} - 1 \end{aligned}$ となる。

解答エ：４, オ：１, カ：１

また、数列 ${T_{n}}$ の階差数列が ${S_{n}}$ なので、 $2 ≦ n$ のとき、階差数列の公式より
$\begin{aligned} T_{n} & = T_{1} + \sum_{k = 1}^{n - 1} S_{k} \\ = - 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} (4^{k} - 1) \end{aligned}$

途中式

\begin{aligned} = - 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} 4^{k} - \sum_{k = 1}^{n - 1} 1 \\ = - 1 + \frac{4 (1 - 4^{n - 1})}{1 - 4} - (n - 1) \\ = - 1 + \frac{4 - 4^{n}}{- 3} - n + 1 \end{aligned}

= \frac{4^{n}}{3} - n - \frac{4}{3}

式Ａ
となる。

これは $n = 1$ のときも成り立つ。

解答キ：４, ク：１, ケ：３, コ：４, サ：３

(3) シ～タ

アドバイス

次は漸化式の問題だけど、文型の人はあんまり見たことがないタイプの問題だと思う。
でも、解き方を知らなくても、センター試験は問題が誘導してくれるから大丈夫。
驚かずに問題の流れに乗ろう。

$b_{n} = \frac{a_{n} + 2 T_{n}}{n}$
なので、
$b_{1} = \frac{a_{1} + 2 T_{1}}{1}$
$b_{1}$ $= a_{1} + 2 T_{1}$ 式Ｂ
とかける。
問題文より
$a_{1} = - 3$ $T_{1} = - 1$ なので、式Ｂは
$b_{1} = - 3 + 2 \cdot (- 1)$
$b_{1}$ $= - 5$
となる。

解答シ：－, ス：５

次に、 ${T_{n}}$ の漸化式をつくる。
$T_{n}$ の式は(2)で求めた一般項（式Ａ）だけしかない。
これを使ってセ～タの式を作るわけだ。

セ～タの式を見ると、 $T_{n + 1}$ と $T_{n}$ があるので、まずこれを作ろう。
式Ａより、
$T_{n} = \frac{4^{n}}{3} - n - \frac{4}{3}$ 式Ａの $n$ に $n + 1$ を代入して、
$T_{n + 1} = \frac{4^{n + 1}}{3} - (n + 1) - \frac{4}{3}$
$T_{n + 1}$ $= \frac{4^{n + 1}}{3} - n - \frac{7}{3}$ 式Ｃとすると、 $T_{n + 1}$ と $T_{n}$ はできたけど、セ～タの式にはない $\frac{4^{n}}{3}$ ， $\frac{4^{n + 1}}{3}$ もできてしまった。
$\frac{4^{n}}{3}$ を $\frac{4^{n + 1}}{3}$ にそろえて加減法で消そう。

式Ａの両辺を $4$ 倍して、
$4 T_{n} = 4 \cdot \frac{4^{n}}{3} - 4 n - 4 \cdot \frac{4}{3}$
$4 T_{n}$ $= \frac{4^{n + 1}}{3} - 4 n - \frac{16}{3}$
これを式Ｃから辺々引いて、

	$T_{n + 1}$	$=$	$\frac{4^{n + 1}}{3}$	$- n$	$- \frac{7}{3}$
$-)$	$4 T_{n}$	$=$	$\frac{4^{n + 1}}{3}$	$- 4 n$	$- \frac{16}{3}$
	$T_{n + 1} - 4 T_{n}$	$=$		$3 n$	$+ \frac{9}{3}$

より
$T_{n + 1} - 4 T_{n} = 3 n + 3$
$T_{n + 1} = 4 T_{n} + 3 n + 3$
という漸化式ができる。

解答セ：４, ソ：３, タ：３

(3) チツ

アドバイス

次は、 ${b_{n}}$ の漸化式だ。
ここまでの(3)のストーリーを振り返ると、
１. ${a_{n}}$ の漸化式から一般項を求めたい
２. そのために $a_{n}$ の式を $b_{n}$ とおいた
３. $b_{n}$ の式に含まれる $T_{n}$ の漸化式を作った
という流れだった。
この流れから、
${a_{n}}$ の漸化式を ${b_{n}}$ の漸化式に変えるそのために、 $b_{n}$ の式と ${T_{n}}$ の漸化式を使うと予想できる。
この方針で解こう。

$b_{n}$ の式
$b_{n} = \frac{a_{n} + 2 T_{n}}{n}$
を変形すると
$n b_{n} = a_{n} + 2 T_{n}$
$a_{n} = n b_{n} - 2 T_{n}$
となるから、
${\begin{cases} a_{n} = n b_{n} - 2 T_{n} \\ a_{n + 1} = (n + 1) b_{n + 1} - 2 T_{n + 1} \end{cases}$ 式Ｄ
である。

これを ${a_{n}}$ の漸化式に代入する。
問題文中の
$n a_{n + 1} = 4 (n + 1) a_{n} + 8 T_{n}$
に式Ｄを代入して、
$\begin{aligned} n & {(n + 1) b_{n + 1} - 2 T_{n + 1}} \\ = 4 (n + 1) (n b_{n} - 2 T_{n}) + 8 T_{n} \end{aligned}$

途中式

\begin{aligned} n & (n + 1) b_{n + 1} - 2 n T_{n + 1} \\ = 4 n (n + 1) b_{n} - 8 n T_{n} - 8 T_{n} + 8 T_{n} \end{aligned}

\begin{aligned} n (n + 1) b_{n + 1} = 4 n (n & + 1) b_{n} \\ - 8 n T_{n} + 2 n T_{n + 1} \end{aligned}

式Ｅ

セ～タより
$T_{n + 1} = 4 T_{n} + 3 n + 3$
なので、これを式Ｅに代入して、
$\begin{aligned} n (n + 1) b_{n + 1} = & 4 n (n + 1) b_{n} \\ - 8 n T_{n} + 2 n (4 T_{n} + 3 n + 3) \end{aligned}$
これを整理して

途中式

\begin{aligned} n (n + 1) b_{n + 1} & = 4 n (n + 1) b_{n} - 8 n T_{n} \\ + 8 n T_{n} + 2 n (3 n + 3) \\ = 4 n (n + 1) b_{n} + 6 n (n + 1) \end{aligned}

n \neq 0

，

n + 1 \neq 0

なので、両辺を

n (n + 1)

で割って、

b_{n + 1} = 4 b_{n} + 6

となる。

解答チ：４, ツ：６

別解

アドバイス

理型の人は、 ${a_{n}}$ の漸化式
$n a_{n + 1} = 4 (n + 1) a_{n} + 8 T_{n}$
を見ると、両辺を $n (n + 1)$ で割ろうとするかも。
この場合、上の解と計算の順番がちょっと変わる。
（長くなるので $n (n + 1)$ で割る理由は説明しない）

${a_{n}}$ の漸化式の両辺を $n (n + 1)$ で割って、
$\frac{a_{n + 1}}{n + 1} = 4 \cdot \frac{a_{n}}{n} + \frac{8 T_{n}}{n (n + 1)}$ 式Ｆ

ここで、
$b_{n} = \frac{a_{n} + 2 T_{n}}{n}$
なので
$b_{n} = \frac{a_{n}}{n} + \frac{2 T_{n}}{n}$
$\frac{a_{n}}{n} = b_{n} - \frac{2 T_{n}}{n}$
より、
${\begin{cases} \frac{a_{n}}{n} = b_{n} - \frac{2 T_{n}}{n} \\ \frac{a_{n + 1}}{n + 1} = b_{n + 1} - \frac{2 T_{n + 1}}{n + 1} \end{cases}$
とかける。

これを式Ｆに代入して、
$b_{n + 1} - \frac{2 T_{n + 1}}{n + 1} = 4 (b_{n} - \frac{2 T_{n}}{n}) + \frac{8 T_{n}}{n (n + 1)}$
これを整理して、

途中式

\begin{aligned} b_{n + 1} & = 4 b_{n} - \frac{8 T_{n}}{n} + \frac{8 T_{n}}{n (n + 1)} + \frac{2 T_{n + 1}}{n + 1} \\ = 4 b_{n} - \frac{8 (n + 1) T_{n}}{n (n + 1)} \\ + \frac{8 T_{n}}{n (n + 1)} + \frac{2 n T_{n + 1}}{n (n + 1)} \\ = 4 b_{n} \\ + \frac{- 8 n T_{n} - 8 T_{n} + 8 T_{n} + 2 n T_{n + 1}}{n (n + 1)} \end{aligned}

b_{n + 1} = 4 b_{n} + \frac{- 8 n T_{n} + 2 n T_{n + 1}}{n (n + 1)}

式Ｇ

セ～タより
$T_{n + 1} = 4 T_{n} + 3 n + 3$
なので、これを式Ｇに代入して、
$b_{n + 1} = 4 b_{n} + \frac{- 8 n T_{n} + 2 n (4 T_{n} + 3 n + 3)}{n (n + 1)}$

途中式

\begin{aligned} = 4 b_{n} + \frac{- 8 n T_{n} + 8 n T_{n} + 2 n (3 n + 3)}{n (n + 1)} \\ = 4 b_{n} + \frac{6 n (n + 1)}{n (n + 1)} \end{aligned}

= 4 b_{n} + 6

となる。

解答チ：４, ツ：６

(3) テ～ヒ

アドバイス

ここまでくると勝ったも同然。
${b_{n}}$ の漸化式
$b_{n + 1} = 4 b_{n} + 6$ 式Ｈ
から、 $b_{n}$ の一般項を求める。
よく見るタイプの問題なので、あまり解説せずに解いてゆく。
このタイプの漸化式について、詳しい説明はこのページを見てほしい。

式Ｈの小さな文字を消して
$b = 4 b + 6$
これを解くと
$3 b = - 6$
$b = - 2$
なので、式Ｈの両辺から $- 2$ を引いて、
$\begin{aligned} b_{n + 1} + 2 & = 4 b_{n} + 6 + 2 \\ = 4 b_{n} + 8 \\ = 4 (b_{n} + 2) 式Ｉ \end{aligned}$

$b_{n} + 2 = Z_{n}$ 式Ｊ
とおくと、式Ｉは
$Z_{n + 1} = 4 Z_{n}$
となるので、 ${Z_{n}}$ は公比が $4$ の等比数列である。

また
$Z_{1} = b_{1} + 2$
で、シスより
$b_{1} = - 5$
だから
$Z_{1} = - 5 + 2$
$Z_{1}$ $= - 3$
なので、
$Z_{n} = - 3 \cdot 4^{n - 1}$
である。

これを式Ｊに代入して、
$b_{n} + 2 = - 3 \cdot 4^{n - 1}$
$b_{n} = - 3 \cdot 4^{n - 1} - 2$
である。

解答テ：－, ト：３, ナ：０, ニ：２

この ${b_{n}}$ の一般項
$b_{n} = - 3 \cdot 4^{n - 1} - 2$
と、キ～サで求めた ${T_{n}}$ の一般項
$T_{n} = \frac{4^{n}}{3} - n - \frac{4}{3}$
を、 $b_{n}$ の式
$b_{n} = \frac{a_{n} + 2 T_{n}}{n}$
に代入すれば $a_{n}$ が求められる。

$b_{n}$ の式に $b_{n}$ ， $T_{n}$ を代入して、
$- 3 \cdot 4^{n - 1} - 2 = \frac{a_{n} + 2 (\frac{4^{n}}{3} - n - \frac{4}{3})}{n}$

途中式

n (- 3 \cdot 4^{n - 1} - 2) = a_{n} + 2 (\frac{4^{n}}{3} - n - \frac{4}{3})

\begin{aligned} a_{n} & = n (- 3 \cdot 4^{n - 1} - 2) - 2 (\frac{4^{n}}{3} - n - \frac{4}{3}) \\ = - 3 n \cdot 4^{n - 1} - 2 n - \frac{2 \cdot 4^{n}}{3} + 2 n + \frac{8}{3} \\ = - 3 n \cdot 4^{n - 1} - \frac{2 \cdot 4^{n}}{3} + \frac{8}{3} \\ = \frac{- 9 n \cdot 4^{n - 1} - 2 \cdot 4^{n} + 8}{3} \\ = \frac{- 9 n \cdot 4^{n - 1} - 2 \cdot 4 \cdot 4^{n - 1} + 8}{3} \end{aligned}

a_{n} = \frac{- (9 n + 8) 4^{n - 1} + 8}{3}

となる。

解答ヌ：－, ネ：９, ノ：８, ハ：８, ヒ：３

第１問	[1]	解説
	[2]	解説
	[3]	解説
第２問	[1]	解説
第２問	[2]	解説
第３問		解説
第４問		解説
第５問		解説

第１問	[1]	解説
第１問	[2]	解説
第２問		解説
第３問		解説
第４問		解説
第５問		解説