一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$49x-23y=1$式Ａ

式Ａを解く。

$x$と$y$の係数の$49$と$23$でユークリッドの互除法を行うと、
$49÷23=2\dots 3$式Ｂ1
$23÷3=7\dots 2$式Ｂ2
$3÷2=1\dots 1$式Ｂ3

これを「＝余り」の形に変形して、
$49-23\cdot 2=3$式Ｂ1'
$23-3\cdot 7=2$式Ｂ2'
$3-2\cdot 1=1$式Ｂ3'

式Ｂ3'に式Ｂ2'を代入して、
$23\cdot (-1)+3\cdot 8=1$
これに式Ｂ1'を代入して、
$49\cdot 8+23\cdot (-17)=1$
ができる。

これを式Ａの方程式に合わせよう。
係数の符号をあわせて、
$49\cdot 8-23\cdot 17=1$式Ｃ

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

	$49x$	$-23y$	$=$	$1$
$-)$	$49\cdot 8$	$-23\cdot 17$	$=$	$1$
	$49(x-8)$	$-23(y-17)$	$=$	$0$

となるから、
$49(x-8)=23(y-17)$式Ｄ
とかける。

ここで、$49$と$23$は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、$n$を整数として
$\{\begin{array}{l}x-8=23n\\ y-17=49n\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=23n+8\\ y=49n+17\end{array}$（$n$は整数）式Ｅ
でなければならない。

いま問われているのは $x$，$y$が自然数のときの $x$が最小となる組合せ。
これは、式Ｅを見ると、考えるまでもなく
$n=0$
のとき
$(x,y)=(8,17)$
である。

解答ア：８, イ：１, ウ：７

アイウが$8$と$17$なので、
       問題文中のエオカキの式は
$x=$エオ$k+8$，$y=$カキ$k+17$
とかける。
式Ｅを変形してこれと同じ式をつくるんだけど、定数項が同じなので、式Ｅがそのまま使える。
式Ｅの$n$を$k$に変えて、
$\{\begin{array}{l}x=23k+8\\ y=49k+17\end{array}$
である。

解答エ：２, オ：３, カ：４, キ：９

$A$も$B$も自然数なので、$x$，$y$を自然数として、
$\{\begin{array}{l}A=49x\\ B=23y\end{array}$式Ｆ
と表せる。

$A$と$B$の差の絶対値が$1$なので、
$A-B=|1|$
とかける。
これに式Ｆを代入して、
$49x-23y=|1|$
絶対値をはずして、
$49x-23y=1$パターンＡ
または
$49x-23y=-1$パターンＢ
となる。

クケコで問われているのは
       $A$が最小のときの$x$，$y$である。
なので、パターンＡとパターンＢそれぞれで
    最小の自然数$x$を求めて、小さい方が答えだ。

パターンＢのとき

パターンＡの$(x$，$y)$はアイウだった。
ということで、パターンＢも
       アイウと同じ方法で求める。
(1)でやった作業の前半はそのまま使って、
       式Ｃから計算しよう。

式Ｃの両辺に$-1$をかけて、
$49\cdot (-8)-23\cdot (-17)=-1$
パターンＢの式からこの式を辺々引くと、

	$49x$	$-23y$	$=$	$-1$
$-)$	$49\cdot (-8)$	$-23\cdot (-17)$	$=$	$-1$
	$49(x+8)$	$-23(y+17)$	$=$	$0$

となるから、
$49(x+8)=23(y+17)$
とかける。

よって、$n$を整数として
$\{\begin{array}{l}x+8=23n\\ y+17=49n\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=23n-8\\ y=49n-17\end{array}$
となる。

この$x$が最小の自然数になるのは、
$n=1$
のとき
$x=15$
である。

この$x=15$と式Ｇを比較すると、式Ｇの$x$の方が小さい。
なので、求める答えは式Ｇのとき。
ク$=8$，ケコ$=17$
である。

解答ク：８, ケ：１, コ：７

絶対値が$2$の場合も$1$のときと同じように解こう。

$A$と$B$の差の絶対値が$2$なので、
$A-B=|2|$
とかける。
これに式Ｆを代入して、
$49x-23y=|2|$
絶対値をはずして、
$49x-23y=2$パターンＣ
または
$49x-23y=-2$パターンＤ
となる。

パターンＣのとき

式Ｃの両辺に$2$をかけて、
$49\cdot (8\cdot 2)-23\cdot (17\cdot 2)=2$
$49\cdot 16-23\cdot 34=2$
パターンＣの式からこの式を辺々引くと、

	$49x$	$-23y$	$=$	$2$
$-)$	$49\cdot 16$	$-23\cdot 34$	$=$	$2$
	$49(x-16)$	$-23(y-34)$	$=$	$0$

となるから、
$49(x-16)=23(y-34)$
とかける。

よって、$n$を整数として
$\{\begin{array}{l}x-16=23n\\ y-34=49n\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=23n+16\\ y=49n+34\end{array}$
となる。

よって、$x$が最小の自然数になる$(x$，$y)$は、
$n=0$
のとき
$(x$，$y)=(16$，$34)$式Ｈ
である。

パターンＤのとき

式Ｃの両辺に$-2$をかけて、
$49\cdot \{8\cdot (-2)\}-23\cdot \{17\cdot (-2)\}=-2$
$49\cdot (-16)-23\cdot (-34)=-2$
パターンＤの式からこの式を辺々引くと、

	$49x$	$-23y$	$=$	$-2$
$-)$	$49\cdot (-16)$	$-23\cdot (-34)$	$=$	$-2$
	$49(x+16)$	$-23(y+34)$	$=$	$0$

となるから、
$49(x+16)=23(y+34)$
とかける。

よって、$n$を整数として
$\{\begin{array}{l}x+16=23n\\ y+34=49n\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=23n-16\\ y=49n-34\end{array}$
となる。

よって、$x$が最小の自然数になる$(x$，$y)$は、
$n=1$
のとき
$(x$，$y)=(7$，$15)$式Ｉ
である。

式Ｈと式Ｉを比較すると、式Ｉの$x$の方が小さい。
なので、求める答えは式Ｉのとき。
サ$=7$，シス$=15$
である。

解答サ：７, シ：１, ス：５

最初に最大公約数について復習しておこう。

復習

自然数$a$，$b$があり、
       $a$を$b$で割ったときの余りを$r$とすると、
$a$と$b$の最大公約数 $=a$と$r$の最大公約数
である。

$a$と$a+2$の最大公約数を$G$とすると、
$a=1$のとき、$1$と$3$の最大公約数なので $G=1$ $a=2$のとき、$2$と$4$の最大公約数なので $G=2$ $3\leqq a$のとき、$(a+2)÷a=1\dots 2$なので、
     復習より$G$は$a$と$2$の最大公約数である。
よって、
$a$が奇数のとき、$G=1$ $a$が偶数のとき、$G=2$ となる。
以上より $a$と$a+2$の最大公約数は$1$または$2$である。

解答セ：２

さらに、連続する整数と倍数の関係について復習しておこう。

復習

連続する$n$個の整数の中には、$n$の倍数が含まれている。

復習より、$a$，$a+1$，$a+2$の中には
$2$の倍数は必ず含まれる $3$の倍数は必ず含まれる $4$以上の倍数については不明である ことが分かる。
よって、
$a(a+1)(a+2)$は必ず$2$の倍数かつ$3$の倍数、
     つまり$6$の倍数になる。

解答ソ：６

$b(b+1)(b+2)$が$6762$の倍数なので、$n$を整数として
$b(b+1)(b+2)=6762n$
とかけるけど、
$6762=2\cdot 3\cdot 7^2\cdot 23$
なので、
$b(b+1)(b+2)=$$2\cdot 3$ $\cdot$ $7^2\cdot 23$ $n$式Ｊ
となる。

ソより、
$a(a+1)(a+2)$は$6$の倍数だから、
     $b(b+1)(b+2)$も$6$の倍数である。
なので、式Ｊの緑の部分は解決済み。
赤い部分だけ考えよう。

まず、$7^2$から。
連続する三つの自然数に、
     $7$の倍数が２個含まれるのはムリ。
つまり、
$b$，$b+1$，$b+2$
のうち２つが$7$の倍数ってのはムリ。
なので、$b(b+1)(b+2)$が$7^2$の倍数ならば、
$b$，$b+1$，$b+2$のひとつは$7^2$の倍数である。

次に、$23$だ。
$23$は素数なので、
     複数の整数をかけて$23$をつくるのはムリ。
なので、$b(b+1)(b+2)$が$23$の倍数ならば、
$b$，$b+1$，$b+2$のひとつは$23$の倍数である。

以上より、
$b$，$b+1$，$b+2$には、
$7^2$の倍数１個と$23$の倍数１個が含まれる ことが分かる。

ここで問題になるのは、$7^2$の倍数と$23$の倍数の含まれかただ。
パターンとしては、$b$，$b+1$，$b+2$のうち、
ひとつが$7^2$の倍数かつ$23$の倍数である。
        パターンＡ 連続する２つが$7^2$の倍数と$23$の倍数である。
        パターンＢ 両端の２つが$7^2$の倍数と$23$の倍数である。
        パターンＣ の３つが存在する。
この３パターンそれぞれを考えよう。

パターンＡ

$b$，$b+1$，$b+2$のうちひとつが$7^2$の倍数かつ$23$の倍数なので、$m$を整数として、
$b=7^2\cdot 23m$ $b+1=7^2\cdot 23m$ $b+2=7^2\cdot 23m$ のいずれかだけど、いま問われているのは$b$が最小の自然数である場合だから、$m$は$1$だ。
なので、上の式はそれぞれ
$b=7^2\cdot 23\cdot 1$
$b$$=1127$ $b+1=7^2\cdot 23\cdot 1$
$b=1127-1$
$b$$=1126$ $b+2=7^2\cdot 23\cdot 1$
$b=1127-2$
$b$$=1125$ となる。
よって、パターンＡのとき、最小の自然数$b$は
$b=1125$式Ｋ
である。

このことから、
$b$と$b+1$の一方が$7^2$の倍数、他方が$23$の倍数
のとき、
$\{\begin{array}{l}b=391\\ b+1=392\end{array}$
より
$b=391$
である。

また、
$b+1$と$b+2$の一方が$7^2$の倍数、他方が$23$の倍数
のとき、
$\{\begin{array}{l}b+1=391\\ b+2=392\end{array}$
より
$b=390$
である。

以上より、パターンＢのとき、最小の自然数$b$は
$b=390$式Ｌ
となる。

式Ｋ，式Ｌ，式Ｍより、
３つのパターンすべてでの$b$の最小値は
$b=343$
である。

解答ト：３, ナ：４, ニ：３