大学入試センター試験 2018年(平成30年) 本試 数学ⅠA 第3問 解説
問題を解く準備
さいころ2個の問題なので、表を書こう。
大きいさいころ | |||||||
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
小 さ い さ い こ ろ |
1 | $A$ | $B$ | ||||
2 | $A$ | $B$ | |||||
3 | $A\cap B$ | $C$ | |||||
4 | $B$ | $A$ | $C$ | ||||
5 | $B$ | $A\cap C$ | |||||
6 | $B$ | $C$ | $A$ |
表Aで、
$A$は事象$A$
$B$は事象$B$
$C$は事象$C$
である。
表ができたところで問題を解こう。
(1)
表Aのマスは全部で$6^{2}$個。
$A$のマスは6個。
すべてのマスは同じ確率で起こるので、
$P(A)=\displaystyle \frac{6}{6^{2}}$
$P(A)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6}$
である。
解答ア:1, イ:6
$B$のマスも6個なので、
$P(B)=\displaystyle \frac{6}{6^{2}}$
$P(B)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6}$
である。
解答ウ:1, エ:6
$C$のマスは4個なので、
$P(C)=\displaystyle \frac{4}{6^{2}}$
$P(A)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{9}$
である。
解答オ:1, カ:9
(2)
条件付き確率とは、条件が起こる場合を全事象として、それ以外はないものとした確率である。
なので、「事象$C$が起こったときの条件付き確率」は、事象$C$が起こらない場合は考えないということだ。
つまり、表Bのグレーの部分は考えない。
大きいさいころ | |||||||
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
小 さ い さ い こ ろ |
1 | $A$ | $B$ | ||||
2 | $A$ | $B$ | |||||
3 | $A\cap B$ | $C$ | |||||
4 | $B$ | $A$ | $C$ | ||||
5 | $B$ | $A\cap C$ | |||||
6 | $B$ | $C$ | $A$ |
表Bで、すべてのマスは4個。
$A$のマスは1個。
すべてのマスは同じ確率で起こるので、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{1}{4}$
である。
解答キ:1, ク:4
次は「事象$A$が起こったとき」なので、表Cのグレーの部分は考えない。
大きいさいころ | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
小 さ い さ い こ ろ |
1 | $A$ | $B$ | ||||
2 | $A$ | $B$ | |||||
3 | $A\cap B$ | $C$ | |||||
4 | $B$ | $A$ | $C$ | ||||
5 | $B$ | $A\cap C$ | |||||
6 | $B$ | $C$ | $A$ |
表Cで、すべてのマスは6個。
$C$のマスは1個。
すべてのマスは同じ確率で起こるので、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}$
である。
解答ケ:1, コ:6
(3)
表Aで、$A\cap B$のマスは1個。
よって、
$P(A\displaystyle \cap B)=\frac{1}{6^{2}}$式A
(1)より
$P(A)=\displaystyle \frac{1}{6}$
$P(B)=\displaystyle \frac{1}{6}$
なので、
$P(A)P(B)=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}$
$P(A)P(B)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6^{2}}$
となるので、
$P(A\cap B)=P(A)P(B)$
である。
解答サ:1
表Aで、$A\cap C$のマスは1個。
よって、
$P(A\displaystyle \cap C)=\frac{1}{6^{2}}$式B
(1)より
$P(A)=\displaystyle \frac{1}{6}$
$P(C)=\displaystyle \frac{1}{9}$
なので、
$P(A)P(C)=\displaystyle \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{9}$
$P(A)P(C)\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6\cdot 9}$
となるので、
$P(A\cap C) \gt P(A)P(C)$
である。
解答シ:2
(4)
式Aより、
$P(A\displaystyle \cap B)=\frac{1}{6^{2}}$
大きいさいころ | |||||||
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
小 さ い さ い こ ろ |
1 | $A$ | $B$ | ||||
2 | $A$ | $B$ | |||||
3 | $A\cap B$ | $C$ | |||||
4 | $B$ | $A$ | $C$ | ||||
5 | $B$ | $A\cap C$ | |||||
6 | $B$ | $C$ | $A$ |
また、$\overline{A}\cap C$は、表Dの青い部分で、3マスある。
なので、確率$P(\overline{A}\cap C)$は。
$P(\displaystyle \overline{A}\cap C)=\frac{3}{6^{2}}$
$P(\displaystyle \overline{A}\cap C)$$\displaystyle =\frac{1}{2\cdot 6}$式C
よって、1回目に$A\cap B$が起こり、2回目に$\overline{A}\cap C$が起こる確率は、
$P(A\displaystyle \cap B)\cdot P(\overline{A}\cap C)=\frac{1}{6^{2}}\cdot\frac{1}{2\cdot 6}$
$P(A\displaystyle \cap B)\cdot P(\overline{A}\cap C)$$\displaystyle =\frac{1}{432}$
である。
解答ス:1, セ:4, ソ:3, タ:2
2回の試行で三つの事象がちょうど1回ずつ起こるためには、2回の試行のうち1回は二つの事象が同時に起こらないといけない。
つまり、$A\cap B$または$A\cap C$が1回出ないといけない。
よって、
$A\cap B$が1回出るパターンA
$A\cap C$が1回出るパターンB
の2つのパターンが考えられる。
この2パターンの確率を求めて、たせば答えが出る。
パターンA
$A\cap B$が出る場合、もう1回は$A\cap C$じゃない$C$が出ないといけない。
式Aより、
$P(A\displaystyle \cap B)=\frac{1}{6^{2}}$
「$A\cap C$じゃない$C$」は$\overline{A}\cap C$のことなので、式Cより、
$P(A\cap C$じゃない$C)=\displaystyle \frac{1}{2\cdot 6}$
「$A\cap B$」と「$A\cap C$じゃない$C$」はどっちが先に出てもいいので、出る順の場合の数は
$2!$
以上より、パターンAの確率は
$\displaystyle \frac{1}{6^{2}}\cdot\frac{1}{2\cdot 6}\cdot 2!$
$=\displaystyle \frac{2}{2\cdot 6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{1}{6^{3}}$式D
パターンB
$A\cap C$が出る場合、もう1回は$A\cap B$じゃない$B$が出ないといけない。
式Bより、
$P(A\displaystyle \cap C)=\frac{1}{6^{2}}$
「$A\cap B$じゃない$B$」は、表Dの緑の部分で、5マスあるから、
$P(A\cap B$じゃない$B)=\displaystyle \frac{5}{6^{2}}$
「$A\cap C$」と「$A\cap B$じゃない$B$」はどっちが先に出てもいいので、出る順の場合の数は
$2!$
以上より、パターンBの確率は
$\displaystyle \frac{1}{6^{2}}\cdot\frac{5}{6^{2}}\cdot 2!$
$=\displaystyle \frac{5}{3\cdot 6^{3}}$式E
パターンA$+$パターンB
求める確率は、式Dと式Eをたして、
$\displaystyle \frac{1}{6^{3}}+\frac{5}{3\cdot 6^{3}}$
途中式
$=\displaystyle \frac{3}{3\cdot 6^{3}}+\frac{5}{3\cdot 6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{8}{3\cdot 6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{2^{3}}{3\cdot 6^{3}}$
$=\displaystyle \frac{1}{3^{4}}$
である。
解答チ:1, ツ:8, テ:1