一次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$23x-31y=2$式Ａ
を解く。

$x$と$y$の係数の$23$と$31$でユークリッドの互除法を行うと、
$31÷23=1\dots 8$式Ｂ1
$23÷8=2\dots 7$式Ｂ2
$8÷7=1\dots 1$式Ｂ3

これを「＝余り」の形に変形して、
$31-23\cdot 1=8$式Ｂ1'
$23-8\cdot 2=7$式Ｂ2'
$8-7\cdot 1=1$式Ｂ3'

式Ｂ3'に式Ｂ2'を代入して、
$8-(23-8\cdot 2)\cdot 1=1$
$8-23+8\cdot 2=1$
$23\cdot (-1)+8\cdot 3=1$
これに式Ｂ1'を代入して、
$23\cdot (-1)+(31-23\cdot 1)\cdot 3=1$
$23\cdot (-1)+31\cdot 3+23\cdot (-3)=1$
$23\cdot (-4)+31\cdot 3=1$
ができる。

これを式Ａの方程式に合わせよう。
係数の符号をあわせて、
$23\cdot (-4)-31\cdot (-3)=1$
両辺に$2$をかけて、
$23\cdot (-8)-31\cdot (-6)=2$式Ｃ

式Ａから式Ｃを辺々引くと、

となるから、
$23(x+8)=31(y+6)$式Ｄ
とかける。

ここで、$23$と$31$は互いに素なので、式Ｄが成り立つためには、$m$を整数として
$\{\begin{array}{l}x+8=31m\\ y+6=23m\end{array}$
より
$\{\begin{array}{l}x=31m-8\\ y=23m-6\end{array}$式Ｅ
でなければならない。

問題文より$x$，$y$は自然数。
よって、式Ｅより
$\{\begin{array}{l}0<31m-8\\ 0<23m-6\end{array}$
となるので、$m$の範囲は
$1\leqq m$
だ。

また、式Ｅより、$m$が大きくなれば$x$，$y$も大きくなる。
つまり、$m$が最小値の$1$のとき、$x$，$y$も最小値だ。
式Ｅに$m=1$を代入して、
$x=31\cdot 1-8$
$x$$=23$
$y=23\cdot 1-6$
$y$$=17$
より、$x$が最小になるときの$(x,y)$は$(23,17)$である。

解答ア：２, イ：３, ウ：１, エ：７

$n=31\times 17$式Ｆ
なので、これまでの計算で$31\cdot 17$が出てこなかったか、まず確認だ。
式Ａの不定方程式にアイウエで求めた解を代入すると、$31\cdot 17$を含む式ができることに気づく。
とりあえず式を作って、その先はできた式を見ながら考えよう。

アイウエの解を式Ａに代入して、
$23\cdot 23-31\cdot 17=2$
より
$31\cdot 17={23}^2-2$
となる。
これを式Ｆに代入して、
$n={23}^2-2$
であるから、
$n^3=({23}^2-2{)}^3$
$n^3$$=$$({23}^2{)}^3-3({23}^2{)}^2\cdot 2+3\cdot {23}^2\cdot 2^2$$-2^3$
となる。

この式の青い部分は$23$で割り切れる。
よって、$n^3$を$23$で割った余りは、式の赤い部分
$-2^3=-8$
なんだけど、余りが負の数ってのはセンター試験的にはアウトだ。
なので、余りを正の数にしよう。
割る数は$23$なので、
$-8+23=15$
より、余りは$15$である。

解答オ：１, カ：５

循環小数を分数に変形する方法を思い出そう。

今回分数にしたい循環小数を
$a=0.\dot{5}$式Ｇ
とおく。
循環している数字は$1$桁だから、この両辺を${10}^1$倍して、
$10a=5.\dot{5}$式Ｇ'
として、式Ｇ'から式Ｇを辺々引くと、

解答キ：５

次は、${\displaystyle \frac{5}{9}}$を$3$進法の小数にする。
何通りかの方法を紹介する。
計算は結構違うけど、やってることは同じだから、自分に合った方法を見つけてほしい。
この部分については、詳しくはこのページ参照。

$n$進数についてもうちょっと復習しておこう。

(2)の復習より、$3$進法で小数第$3$位までで終わる小数を$3^3$倍すると、小数点は３つ右に動いて整数になる。
なので、
$A=3^{3}x$式Ｊ
とすると、$A$は整数になる。
これを変形して、
$x={\displaystyle \frac{A}{3^3}}$
とかける。

ここで、
$x^2<{\displaystyle \frac{1}{7}}$
なので、
${\displaystyle {\left(\frac{A}{3^3}\right)}^2<\frac{1}{7}}$
となる。

これを変形して、
${\displaystyle \frac{A^2}{3^6}<\frac{1}{7}}$
$A^2<{\displaystyle \frac{3^6}{7}}$
$A^2<{\displaystyle \frac{729}{7}}$
$A^2<104.14\dots$
だけど、$A$は整数なので、
$-10\leqq A\leqq 10$
である。

問題で問われているのは、$A$じゃなくて$x$の最大だ。
なので、この式の$A$を$x$に戻そう。
式Ｊを代入して、
$-10\leqq 3^{3}x\leqq 10$
$-{\displaystyle \frac{10}{3^3}\leqq x\leqq \frac{10}{3^3}}$
より、最大の$x$を$x_{max}$とすると、
$x_{max}={\displaystyle \frac{10}{3^3}}$式Ｋ
である。

でも、この${\displaystyle \frac{10}{3^3}}$は$10$進法の数字だ。
$3$進法に変えて、問題文のマスの$0.$ソタチ_$(3)$の形にしよう。

$10$を$3$進法で表す。
$10$$÷3=$$3$$\dots$$1$
$3$$÷3=$$1$$\dots$$0$
$1$$÷3=0\dots$$1$
の余りを右から順に並べて、
$10=$$1$$0$$1$${}_{(3)}$
である。
この計算についてはこのページ参照。

よって、式Ｋは
$x_{max}={\displaystyle \frac{{101}_{(3)}}{3^3}}$
とかける。
ここで、(2)の復習より、$3$進法の数を$3^3$で割ると小数点は３つ左に動くので、これはさらに
$x_{max}={0.101}_{(3)}$
となる。

解答ソ：１, タ：０, チ：１