図Ａで、方べきの定理より、
$\mathrm{PD}\cdot \mathrm{PC}=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$
なので、
$1\cdot \mathrm{PC}=x\cdot \sqrt{10}$
$\mathrm{PC}=\sqrt{10}x$
ここで、$\mathrm{PC}=\mathrm{CD}+1$なので、
$\mathrm{CD}+1=\sqrt{10}x$
$\mathrm{CD}=\sqrt{10}x-1$
である。

解答ア：１, イ：０, ウ：１

${\displaystyle \frac{\mathrm{RC}}{\mathrm{BR}}=2}$
じゃ分かりにくいので、少し変形しよう。
分母を払って
$\mathrm{RC}=2\mathrm{BR}$
より、
$\mathrm{RC}:\mathrm{BR}=2:1$
である。

情報が増えてきたので、分かっていることを図Ｂに整理した。

図Ｂで$x$の値を問われているので、△$\mathrm{PBC}$でチェバの定理だ。

チェバの定理より、
${\displaystyle \frac{\mathrm{PA}}{\mathrm{AB}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{RC}}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{DP}}}=1$
なので、
${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{10}-x}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{10}x-1}{1}}=1$
である。
これを整理して、

途中式

${\displaystyle \frac{x(\sqrt{10}x-1)}{2(\sqrt{10}-x)}}=1$
$x(\sqrt{10}x-1)=2(\sqrt{10}-x)$
$\sqrt{10}{x}^2-x=2\sqrt{10}-2x$

$\sqrt{10}{x}^2+x-2\sqrt{10}=0$
解の公式より、
$x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1-4\cdot \sqrt{10}\cdot (-2\sqrt{10})}}{2\sqrt{10}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{x}& =\frac{-1\pm \sqrt{1+8{\sqrt{10}}^2}}{2\sqrt{10}}\\ & =\frac{-1\pm \sqrt{81}}{2\sqrt{10}}\end{array}$$

$\phantom{x}={\displaystyle \frac{-1\pm 9}{2\sqrt{10}}}$
ここで、$0<x$なので、
$x={\displaystyle \frac{-1+9}{2\sqrt{10}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{x}& =\frac{8}{2\sqrt{10}}\\ & =\frac{8\sqrt{10}}{2\cdot 10}\end{array}$$

$\phantom{x}={\displaystyle \frac{2\sqrt{10}}{5}}$
である。

解答エ：２, オ：１, カ：０, キ：５

図Ｃより、立方体の
頂点の数は$8$
辺の数は$12$
面の数は$6$
なので、
$$\begin{array}{rl}v-e+f& =\text{頂点}-\text{辺}+\text{面}\\ & =8-12+6\\ & =2\mathrm{式}Ａ\end{array}$$ である。

解答ク：２

ここで
頂点の数$:$辺の数$=2:5$
面の数が$38$
である凸多面体を考える。

アドバイス

問題文に、オイラーの多面体定理が出ている。センター試験に出るのは初めてだ。でも、びっくりしてはいけない。知らなくても解けます。
センター試験はいろんな手を使って受験生をおどかそうとするけど、平常心でスルーしましょう。

$v:e=2:5$
なので、$n$を正の整数として
$\{\begin{array}{l}v=2n\\ e=5n\end{array}$式Ｂ
とおく。

式Ａより
$v-e+f=2$
問題文より
$f=38$
なので、
$2n-5n+38=2$
$3n=36$
$n=12$
である。

これを式Ｂに代入して、
$\{\begin{array}{l}v=24\\ e=60\end{array}$
となる。

解答ケ：２, コ：４, サ：６, シ：０

よって、この凸多面体は、
頂点の数$v=24$
辺の数$e=60$
面の数$f=38$
である。

さらに、この凸多面体は、
$x$個の正三角形
$y$個の正方形
の面でできている。面の数は全部で$38$なので、
$x+y=38$式Ｃ
である。

また、
正三角形の面$x$個の辺の数は、$3x$
正方形の面$y$個の辺の数は、$4y$
だけど、ひとつの面の辺は、立方体では隣の面の辺と共有だ。
なので、辺の数は
$e={\displaystyle \frac{3x+4y}{2}}$式Ｄ
と表せる。

詳しく

図Ｄのように、６つの正方形から立方体をつくる場合を考えよう。
図Ｄで左図の正方形の２つの赤い辺は、右図の立方体になると重なって１つの辺になる。
同じように、２つの青い辺も、緑の辺も、立方体になると１つの辺になる。
なので、
正方形の辺の数${\displaystyle \times \frac{1}{2}=}$立方体の辺の数
となる。

同じことが、すべての多面体で考えられる。
よって、
面の辺の数${\displaystyle \times \frac{1}{2}=}$多面体の辺の数
である。

ここで、辺の数は$60$であることが分かっているので、式Ｄは
${\displaystyle \frac{3x+4y}{2}=60}$
より
$3x+4y=120$式Ｅ
となる。

解答ス：１, セ：２, ソ：０

式Ｅと式Ｃの連立方程式を解こう。
式Ｃの両辺を$4$倍して、
$4x+4y=38\cdot 4$
これから式Ｅを辺々引いて、

	$4x$	$+4y$	$=$	$38\cdot 4$
$-)$	$3x$	$+4y$	$=$	$30\cdot 4$
	$x$		$=$	$8\cdot 4$

となるので、
$x=32$
である。

解答タ：３, チ：２

また、頂点の数は$24$個で、各頂点に集まる辺の数は$\ell$である。
なので、辺の数は
$24\ell$
と言いたいところだけど、辺の両端に頂点があるから、頂点$\times$集まる辺の数ではひとつの辺を$2$度数えている。
よって、辺の数は
$e={\displaystyle \frac{24\ell }{2}}$
が正しい。

辺の数は$60$であることが分かっているので、上の式は
${\displaystyle \frac{24\ell }{2}=60}$
とかける。

これを解いて、
$\ell =5$
である。

解答ツ：５