大学入試センター試験 2018年(平成30年) 追試数学ⅡＢ第４問解説

(1)

アドバイス

空間ベクトルの問題だ。今回は図がなくても解けるけど、イメージをつかむために描いた方がいい。図を見ながら考えると、ミスも減るし。

図の固定

空間座標に忠実に図を描くと、図Ａみたいなのができる。だけど、センター試験本番でこんな図を描いてはいけない。時間がかかるから。
お薦めは、図Ｂだ。

図の固定

まず、 $\vec{p}$ ， $\vec{q}$ の大きさだ。

$| \vec{p} | = \sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + (- 1)^{2}}$
$| \vec{p} |$ $= \sqrt{6}$

$| \vec{q} | = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + (- 1)^{2}}$
$| \vec{q} |$ $= \sqrt{2}$

である。

解答ア：６, イ：２

次は２つのベクトルのなす角なので、内積から考えよう。
それぞれのベクトルの成分から、
$\vec{p} \cdot \vec{q} = 2 \cdot 0 + (- 1) \cdot 1 + (- 1) (- 1)$
$= 0$
より、内積が $0$ なので、なす角は
$90^{\circ}$
である。

解答ウ：９, エ：０

(2)

$\vec{n} = (1, y, z)$
とおく。

$\vec{n}$ ⊥ $\vec{p}$ なので、
$\vec{n} \cdot \vec{p} = 1 \cdot 2 + y \cdot (- 1) + z \cdot (- 1) = 0$
だから、
$y + z = 2$ 式Ａ
である。

$\vec{n}$ ⊥ $\vec{q}$ なので、
$\vec{n} \cdot \vec{q} = 1 \cdot 0 + y \cdot 1 + z \cdot (- 1) = 0$
だから、
$y - z = 0$
$y = z$ 式Ｂ
である。

式Ａと式Ｂの連立方程式を解く。
式Ｂを式Ａに代入して、
$y + y = 2$
$y = 1$
これを式Ｂに代入して、
$z = 1$
となるので、
$\vec{n} = (1, 1, 1)$
となる。

解答オ：１, カ：１

ここで、 $\vec{n}$ の意味を考えておこう。
平面に垂直なベクトルについて復習すると、

復習

平面 $α$ 上に、 $\vec{0}$ でも平行でもない２つのベクトル $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ があるとき、
$\vec{c}$ ⊥ $\vec{a}$ ， $\vec{c}$ ⊥ $\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{c}$ が平面 $α$ と垂直
である。
詳しくはこのページ参照。

だった。

復習より、 $\vec{n}$ は平面 $α$ と垂直である。

また、点 $A$ の座標と $\vec{n}$ の成分より、
$\vec{OA} \cdot \vec{n} = 6 \cdot 1 + (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot 1$
$= 6$
$\vec{n} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1$
$= 3$
である。

別解

$\vec{n} \cdot \vec{n}$ は、
$\vec{n} \cdot \vec{n} = | \vec{n} |^{2}$
$= {\sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}}}^{2}$
$= 3$
としても求められる。

解答キ：６, ク：３

アドバイス

ここからは
$\vec{OA} = r \vec{n} + s \vec{p} + t \vec{q}$
に、 $\vec{OA}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ ， $\vec{q}$ の成分を代入して
$(6, - 1, 1) = r (1, 1, 1) + s (2, - 1, - 1) + t (0, 1, - 1)$
$(6, - 1, 1)$ $= (r, r, r) + (2 s, - s, - s) + (0, t, - t)$
$(6, - 1, 1)$ $= (r + 2 s, r - s + t, r - s - t)$
から、連立方程式
${\begin{cases} r + 2 s = 6 \\ r - s + t = - 1 \\ r - s - t = 1 \end{cases}$
をつくり、これを解くのが一般的だ。
けれど、今回は問題文が違う解法に誘導しているから、それに従って解く。
連立方程式を解く方法は、別解で説明する。

$\vec{OA} = r \vec{n} + s \vec{p} + t \vec{q}$
とおいたので、
$\vec{OA} \cdot \vec{n} = (r \vec{n} + s \vec{p} + t \vec{q}) \cdot \vec{n}$
$\vec{OA} \cdot \vec{n}$ $= r \vec{n} \cdot \vec{n} + s \vec{p} \cdot \vec{n} + t \vec{q} \cdot \vec{n}$ 式Ｃ

ここで、
キより $\vec{OA} \cdot \vec{n} = 6$ クより $\vec{n} \cdot \vec{n} = 3$ $\vec{n}$ ⊥ $\vec{p}$ より $\vec{n} \cdot \vec{p} = 0$ $\vec{n}$ ⊥ $\vec{q}$ より $\vec{n} \cdot \vec{q} = 0$

なので、式Ｃは
$r \cdot 3 + s \cdot 0 + t \cdot 0 = 6$
$3 r = 6$
$r = 2$
となる。

解答ケ：２

同じ作業を $\vec{OA} \cdot \vec{p}$ と $\vec{OA} \cdot \vec{q}$ でも行う。

$\vec{OA} \cdot \vec{p} = (r \vec{n} + s \vec{p} + t \vec{q}) \cdot \vec{p}$
$\vec{OA} \cdot \vec{p}$ $= r \vec{n} \cdot \vec{p} + s \vec{p} \cdot \vec{p} + t \vec{q} \cdot \vec{p}$
$\vec{OA} \cdot \vec{p}$ $= r \vec{n} \cdot \vec{p} + s {| \vec{p} |}^{2} + t \vec{q} \cdot \vec{p}$ 式Ｄ

ここで、
$\vec{OA} \cdot \vec{p} = 6 \cdot 2 + (- 1) (- 1) + 1 \cdot (- 1)$
$= 12$ アより $| \vec{p} | = \sqrt{6}$ $\vec{n}$ ⊥ $\vec{p}$ より $\vec{n} \cdot \vec{p} = 0$ $\vec{p}$ ⊥ $\vec{q}$ より $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$

なので、式Ｄは
$r \cdot 0 + s \cdot {\sqrt{6}}^{2} + t \cdot 0 = 12$
$6 s = 12$
$s = 2$
となる。

解答コ：２

$\vec{OA} \cdot \vec{q} = (r \vec{n} + s \vec{p} + t \vec{q}) \cdot \vec{q}$
$\vec{OA} \cdot \vec{q}$ $= r \vec{n} \cdot \vec{q} + s \vec{p} \cdot \vec{q} + t \vec{q} \cdot \vec{q}$
$\vec{OA} \cdot \vec{q}$ $= r \vec{n} \cdot \vec{q} + s \vec{p} \cdot \vec{q} + t {| \vec{q} |}^{2}$ 式Ｅ

ここで、
$\vec{OA} \cdot \vec{q} = 6 \cdot 0 + (- 1) \cdot 1 + 1 \cdot (- 1)$
$= - 2$ イより $| \vec{q} | = \sqrt{2}$ $\vec{n}$ ⊥ $\vec{q}$ より $\vec{n} \cdot \vec{q} = 0$ $\vec{p}$ ⊥ $\vec{q}$ より $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$

なので、式Ｅは
$r \cdot 0 + s \cdot 0 + t \cdot {\sqrt{2}}^{2} = - 2$
$2 t = - 2$
$t = - 1$
となる。

解答サ：－, シ：１

アドバイス

以上、問題文の誘導するとおりに解いた。
でも、この解き方をすると計算が面倒になりがちなので要注意だ。今回面倒な計算にならなかったのは、基準となるベクトル $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ ， $\vec{q}$ が互いに垂直だったから。
一般的な解法で解くと、次の別解のようになる。センター試験本番では、別解の方法で解いてもらっても全く問題ない。

別解

$\vec{OA} = r \vec{n} + s \vec{p} + t \vec{q}$
に、 $\vec{OA}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ ， $\vec{q}$ の成分を代入して
$(6, - 1, 1) = r (1, 1, 1) + s (2, - 1, - 1) + t (0, 1, - 1)$
$(6, - 1, 1)$ $= (r, r, r) + (2 s, - s, - s) + (0, t, - t)$
$(6, - 1, 1)$ $= (r + 2 s, r - s + t, r - s - t)$
なので、連立方程式
$r + 2 s = 6$ 式Ｆ1 $r - s + t = - 1$ 式Ｆ2 $r - s - t = 1$ 式Ｆ3 ができる。これを解く。

式Ｆ2から式Ｆ3を辺々引いて、

	$r$	$- s$	$+ t$	$=$	$- 1$
$-)$	$r$	$- s$	$- t$	$=$	$1$
			$2 t$	$=$	$- 2$

t = - 1

解答サ：－, シ：１

これを式Ｆ2に代入して、
$r - s - 1 = - 1$
$r - s = 0$
$r = s$ 式Ｇ

これを式Ｆ1に代入して、
$s + 2 s = 6$
$3 s = 6$
$s = 2$

解答コ：２

これを式Ｇに代入して、
$r = 2$

解答ケ：２

となる。

次は $u$ だ。
$\vec{OA} \cdot \vec{n}$ を使ってケを求めたのと同じことを、 $\vec{OB} \cdot \vec{n}$ でもやる。

$\vec{OB} = u \vec{n} + v \vec{p} + w \vec{q}$
とおいたので、
$\vec{OB} \cdot \vec{n} = (u \vec{n} + v \vec{p} + w \vec{q}) \cdot \vec{n}$
$\vec{OB} \cdot \vec{n}$ $= u \vec{n} \cdot \vec{n} + v \vec{p} \cdot \vec{n} + w \vec{q} \cdot \vec{n}$ 式Ｈ

ここで、
$\vec{OB} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1 + 2 \cdot 1$
$= 9$ クより $\vec{n} \cdot \vec{n} = 3$ $\vec{n}$ ⊥ $\vec{p}$ より $\vec{n} \cdot \vec{p} = 0$ $\vec{n}$ ⊥ $\vec{q}$ より $\vec{n} \cdot \vec{q} = 0$

なので、式Ｈは
$u \cdot 3 + s \cdot 0 + t \cdot 0 = 9$
$3 u = 9$
$u = 3$
となる。

解答ス：３

アドバイス

スも、ケ～サシの別解のように解くのが一般的だ。
一般的な方法で解くと、次の別解のようになる。センター試験本番では、こちらの方法で解いてもらっても全く問題ない。

別解

$\vec{OB} = u \vec{n} + v \vec{p} + w \vec{q}$
に、 $\vec{OB}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{p}$ ， $\vec{q}$ の成分を代入して
$\begin{aligned} (1, 6, 2) & = u (1, 1, 1) + v (2, - 1, - 1) \\ + w (0, 1, - 1) \\ = (u, u, u) + (2 v, - v, - v) \\ + (0, w, - w) \\ = (u + 2 v, u - v + w, u - v - w) \end{aligned}$ なので、連立方程式
$u + 2 v = 1$ 式Ｉ1 $u - v + w = 6$ 式Ｉ2 $u - v - w = 2$ 式Ｉ3 ができる。これを解く。

式Ｉ2と式Ｉ3を辺々たして、

	$u$	$- v$	$+ w$	$=$	$6$
$+)$	$u$	$- v$	$- w$	$=$	$2$
	$2 u$	$- 2 v$		$=$	$8$

これと式Ｉ1を辺々たして、

	$2 u$	$- 2 v$	$=$	$8$
$+)$	$u$	$+ 2 v$	$=$	$1$
	$3 u$		$=$	$9$

u = 3

となる。

解答ス：３

(3)

アドバイス

ここから先、問題文が何をやっているのか分からない人もいるだろから、先にストーリーを説明しておく。

図形と方程式の単元で、次のような問題を見たことがあるだろう。

例題

$x y$ 平面上に、点 $A (- 1, 3)$ ，点 $B (4, 8)$ と、直線 $ℓ : y = \frac{1}{2} x + 1$ 上に点 $M$ がある。
このとき、 $AM + BM$ が最小となる、点 $M$ の座標を求めなさい。

このタイプの問題は、図Ｃのように、直線 $ℓ$ に関して点 $A$ と対称な点 $C$ をとり、直線 $ℓ$ と $BC$ の交点を求めて解いていた。

図の固定

以下では、これと同じことを空間で行う。
平面 $α$ に関して点 $A$ と対称な点 $C$ をとり、平面 $α$ と $BC$ の交点を考える。

ケ～サシより、
$\vec{OC} = - 2 \vec{n} + 2 \vec{p} - \vec{q}$
これに各ベクトルの成分を代入して、
$\begin{aligned} \vec{OC} & = - 2 (1, 1, 1) + 2 (2, - 1, - 1) - (0, 1, - 1) \\ = (- 2, - 2, - 2) + (4, - 2, - 2) + (0, - 1, 1) \\ = (- 2 + 4, - 2 - 2 - 1, - 2 - 2 + 1) \\ = (2, - 5, - 3) \end{aligned}$ である。

解答セ：２, ソ：－, タ：５, チ：－, ツ：３

以上より、
$\vec{OA} = 2 \vec{n} + 2 \vec{p} - \vec{q} = (6, - 1, 1)$ $\vec{OB} = 3 \vec{n} + v \vec{p} + w \vec{q} = (1, 6, 2)$ $\vec{OC} = - 2 \vec{n} + 2 \vec{p} - \vec{q} = (2, - 5, 3)$ であることが分かった。

図の固定

図Ｄのように、 $BC$ と平面 $α$ の交点を $M$ 、点 $A$ ，点 $B$ から平面 $α$ に下ろした垂線の足を点 $H$ ，点 $I$ とする。
$\vec{p}$ ， $\vec{q}$ は平面 $α$ 上のベクトル $\vec{n}$ ⊥ $\vec{p}$ ， $\vec{n}$ ⊥ $\vec{q}$ なので、平面 $α$ と $\vec{n}$ は垂直なので、
$\vec{OA} =$ $2 \vec{n}$ $+$ $2 \vec{p} - \vec{q}$
の赤い部分が $\vec{HA}$ ，緑の部分が $\vec{OH}$ にあたる。

同様に、
$\vec{OB} =$ $3 \vec{n}$ $+$ $v \vec{p} + w \vec{q}$
の赤い部分が $\vec{IB}$ ，緑の部分が $\vec{OI}$ に、
$\vec{OC} =$ $- 2 \vec{n}$ $+$ $2 \vec{p} - \vec{q}$
の赤い部分が $\vec{HB}$ ，緑の部分が $\vec{OH}$ にあたる。

以上より、
$IB : HC = 3 : 2$ 点 $A$ と点 $C$ は平面 $α$ に関して対称な点であることが分かる。

よって、図Ｄの緑の三角形と青い三角形は相似で、相似比は
$3 : 2$
だから、
$AM : CM = 3 : 2$
である。

解答テ：２

このことから、点 $M$ は線分 $BC$ を $3 : 2$ に内分する点なので、
$\vec{OM} = \frac{2 \vec{OB} + 3 \vec{OC}}{3 + 2}$
と表せる。
これに $\vec{OB}$ ， $\vec{OC}$ の成分を代入して、
$\vec{OM} = \frac{2 (1, 6, 2) + 3 (2, - 5, - 3)}{3 + 2}$

途中式

\begin{aligned} = \frac{(2, 12, 4) + (6, - 15, - 9)}{5} \\ = \frac{(8, - 3, - 5)}{5} \\ = (\frac{8}{5}, \frac{- 3}{5}, \frac{- 5}{5}) \end{aligned}

= (\frac{8}{5}, - \frac{3}{5}, - 1)

である。

解答ト：８, ナ：５, ニ：－, ヌ：３, ネ：５, ノ：－, ハ：１

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