図の固定

まず$\cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}$から。
三角形の３つの辺の長さが分かっていて、ひとつの角の$\cos$を聞かれているので、余弦定理を使おう。

${\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}$
より、
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}=\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}}$${\displaystyle =\frac{4^2+(10\sqrt{3}{)}^2-{14}^2}{2\cdot 4\cdot 10\sqrt{3}}}$

分母分子を$2^2$で割って、
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}=\frac{4+(5\sqrt{3}{)}^2-7^2}{2\cdot 10\sqrt{3}}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}}$${\displaystyle =\frac{4+75-49}{2\cdot 10\sqrt{3}}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}}$${\displaystyle =\frac{30}{2\cdot 10\sqrt{3}}}$
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}}$${\displaystyle =\frac{3}{2\sqrt{3}}}$
分母分子を$\sqrt{3}$で割って、
${\displaystyle \cos \mathrm{\angle }\mathrm{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}}$
となる。

解答ア：３, イ：２

なので、$\mathrm{\angle }\mathrm{B}$は${30}^{\circ }$だ。

図の固定

外接円の半径$R$が含まれる式を問われているので、$R$が含まれている公式を使う。
△ABDに正弦定理を用いて、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\sin \mathrm{\angle }\mathrm{B}}=2R}$
これを変形して、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{R}=2\sin \mathrm{\angle }\mathrm{B}}$式Ａ
となる。

ここで、$\mathrm{\angle }\mathrm{B}$は${30}^{\circ }$なので、${\displaystyle \sin \mathrm{\angle }\mathrm{B}=\frac{1}{2}}$
よって、式Ａは
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{R}=2\cdot \frac{1}{2}}$
      $=1$式Ａ'
である。

解答ウ：１

次は、$R$の最小値を求める問題。

式Ａ'をさらに変形すると、
$R=\mathrm{AD}$式Ａ''
となるから、ADが最小のとき$R$も最小になる。

ADが最小になるのは、$\mathrm{\angle }\mathrm{ADB}$が直角になるとき、つまり、Dが図Ｂの赤い点にあるとき。
このとき、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}=\sin \mathrm{\angle }\mathrm{B}}$
より、
${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{4}=\frac{1}{2}}$
$\mathrm{AD}=2$式Ｂ
なので、式Ａ''より、$R$の最小値も$2$である。

解答エ：２

図の固定

△ABDの外接円の中心がBC上にあるとき、
BDは外接円の直径
$\mathrm{\angle }\mathrm{BAD}$は直角
である。
また、$\mathrm{\angle }\mathrm{B}$は${30}^{\circ }$だったので、△ABDは、
${90}^{\circ }$，${60}^{\circ }$，${30}^{\circ }$の直角三角形
である。

以上より、
$\mathrm{AD}:\mathrm{AB}=1:\sqrt{3}$
$\mathrm{AD}:4=1:\sqrt{3}$
$\sqrt{3}\mathrm{AD}=4$
${\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{4}{\sqrt{3}}}$
${\displaystyle \mathrm{AD}}$${\displaystyle =\frac{4\sqrt{3}}{3}}$
となる。
さらに、$R=\mathrm{AD}$なので、
$R={\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}}$
である。

解答オ：４, カ：３, キ：３

最後は、△ACD（図Ｄの青い三角形）の面積だ。

図の固定

解法は何通りか考えられる。
図Ｄの、 赤い三角形（△ABC）の面積を赤 緑の三角形（△ABD）の面積を緑 青い三角形（△ACD）の面積を青 とすると、

解法１おすすめ
青い三角形において、CDを底辺としたときの高さは分かっているので、面積が計算できる。 解法２
赤から緑を引いて青を求める。 解法３
$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}=$赤$:$青の比率を使って求める。

この３通りを解説する。解法２と解法３では、計算練習のために三角形の高さが$2$であることを使わずに解く。
他にも方法が考えられるけど、遠回りの解法になるので省略する。