確率変数$X$は正規分布$N(50.2,{0.4}^2)$に従っているので、$X$が$50$未満である確率は図Ａの緑の部分の面積にあたる。

この面積を正規分布表から求めるんだけど、
正規分布表に載っているのは、$N(0,1)$ 面積を求めたいのは、$N(50.2,{0.4}^2)$ だから、そのままでは正規分布表は使えない。
$N(50.2,{0.4}^2)$を標準化して、$N(0,1)$に変換しよう。

つまり、問題文中の$Z={\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }}$は確率変数を標準化する式だ。

ここで、
$X$の平均$m$は$50.2$ $X$の標準偏差$\sigma$は$0.4$

なので、
$X<50$
の両辺を復習の方法で標準化すると、
${\displaystyle \frac{X-m}{\sigma }<\frac{50-50.2}{0.4}}$
より
$Z<-0.5$
という式が出来る。

つまり、
$N(50.2,{0.4}^2)$で$X<50$である確率 と、
$N(0,1)$で$Z<-0.5$である確率 は等しいということだ。

解答ア：０, イ：５

あとは、この確率、つまり図Ｂの緑の面積を求めればよい。

正規分布表に載っているのは、$0$より右の数と、$0$との間の面積。
なので、緑の面積を直接求めることはできない。

まず、正規分布表で、$0.50$をさがすと、$0.1915$とある。
これが、図Ｂの青い部分の面積だ。
正規分布は左右対称なので、図Ｂの黄色い部分の面積も$0.1915$である。

$Z$は確率変数なので、図Ｂのグラフ全体の面積は$1$だ。
さらに、図Ｂは左右対称なので、緑$+$黄は$0.5$である。

なので、求める緑の部分の面積は、
緑$=0.5-0.1915$
緑$=0.3085$
緑$\doteqdot 0.31$
だから、求める確率は、
$0.31$
である。

解答ウ：３, エ：１

次は、図Ｃの緑の部分の面積が$0.04$となるような平均$m$を求める。

(1)では、平均値と標準偏差が分かっていて、$50$ｇ未満の製品の確率を求めた。
今度は、標準偏差と$50$ｇ未満の製品の確率が分かっていて、平均値を求めたい。
ということなので、(1)の作業の逆をしよう。

図Ｃを標準化して、図Ｄをつくる。

図Ｄの緑の部分の面積が$0.04$になればよい。
問題文より、ちょうど$0.04$ではなく、$0.0401$になるオ$.$カキを探すようだ。

$Z$は確率変数なので、図Ｄのグラフ全体の面積は$1$だ。
さらに、図Ｄは左右対称なので、緑$+$黄は$0.5$である。

なので、緑の面積が$0.0401$なら、黄色の面積は
$0.5-0.0401=0.4599$
であり、青の面積も同じ$0.4599$だ。

正規分布表で$0.4599$を探すと、
$1.75$
のときであることが分かる。

解答オ：１, カ：７, キ：５

図Ｃを標準化したものが図Ｄなので、$50$を標準化すると$-1.75$になるはずだ。
なので、
${\displaystyle \frac{50-m}{\sigma }=-1.75}$
という式ができる。
今、標準偏差は$0.4$なので、この式は
${\displaystyle \frac{50-m}{0.4}=-1.75}$
となる。

これを解いて、
$50-m=-1.75\times 0.4$
$m=50+1.75\times 0.4$
$m$$=50.7$
である。

解答ク：５, ケ：０, コ：７

まず、標本平均について復習しておこう。

復習

平均$m$，標準偏差が$\sigma$である母集団から、ランダムに大きさ$n$の標本を取り出し、標本平均を$\bar{X}$とする。
このとき、
$\bar{X}$の平均$E(\bar{X})=m$ $\bar{X}$の標準偏差${\displaystyle \sigma (\bar{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$ となる。

復習より、
$X_1$，$X_2$，$\cdots$，$X_9$の平均値を$\bar{X}$とすると、
$\bar{X}$の平均$E(\bar{X})=50.2$式Ａ $\bar{X}$の標準偏差${\displaystyle \sigma (\bar{X})=\frac{0.4}{\sqrt{9}}}$
                         $={\displaystyle \frac{0.4}{3}}$式Ｂ である。

あ、先にチの答えが出てしまった。

解答チ：３

さらに、$\bar{X}$と$Y$の関係を考えると、
${\displaystyle \bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_9}{9}}$
より、
$X_1+X_2+\cdots +X_9=9\bar{X}$ $Y=X_1+X_2+\cdots +X_9+80$ なので、
$Y=9\bar{X}+80$式Ｃ
とかける。

ここで、確率変数の変換について復習しよう。

復習

確率変数$A$の
平均値を$E(A)$ 分散を$V(A)$ 標準偏差を$\sigma (A)$ とする。

$A$と定数$\alpha$，$\beta$を用いて、確率変数$B$を
$B=\alpha A+\beta$
と定める。

このとき、$B$の
平均$E(B)=\alpha E(A)+\beta$ 分散$V(B)={\alpha }^{2}V(A)$ 標準偏差$\sigma (B)=|\alpha |\sigma (A)$ となる。

復習より、式Ｃの$Y$の平均$E(Y)$と標準偏差$\sigma (Y)$は、$\bar{X}$の平均値を$E(\bar{X})$，標準偏差を$\sigma (\bar{X})$として、
$E(Y)=9E(\bar{X})+80$ $\sigma (Y)=9\sigma (\bar{X})$ といえる。
これに式Ａ，式Ｂを代入して、
$E(Y)=9\cdot 50.2+80$
       $=531.8$ ${\displaystyle \sigma (Y)=9\cdot \frac{0.4}{3}}$
       $=1.2$ である。

解答サ：５, シ：３, ス：１, セ：８, ソ：１, タ：２

標本平均について、さらに復習する。

復習

母平均$\mu$，母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を取り出す。
このとき、標本平均は
母集団が正規分布に従うときには $n$の値にかかわらす完全に、 母集団がその他の分布のときには $n$が大きければ近似的に、 正規分布
${\displaystyle N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})}$
に従う。

なので、$\bar{X}$は正規分布
$N(50.2,{\displaystyle \frac{{0.4}^2}{9}})$
に従う。
その$\bar{X}$が$50$未満である確率は、図Ｅの緑の面積だ。

グラフについての補足

センター試験を解くのには必要ないことだけど、疑問に思う人もいるだろうから一応説明しておく。
図Ｅのグラフは、(1)の図Ａと比べて、分散が${\displaystyle \frac{1}{9}}$、つまり標準偏差が${\displaystyle \frac{1}{3}}$になっているので、グラフは横方向に${\displaystyle \frac{1}{3}}$になっている。
一方、グラフと横軸の間の面積は$1$で変わらないから、縦方向には$3$倍になる。

図Ｅの緑の面積を求めるには、(1)と同じことをすればよい。
詳しい説明は(1)を見てもらって、ここでは計算だけ載せておく。

$50$を標準化して、
${\displaystyle \frac{50-50.2}{\frac{0.4}{3}}}={\displaystyle \frac{-0.2}{\frac{0.4}{3}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{{\displaystyle \frac{50-50.2}{\frac{0.4}{3}}}}& =\frac{-0.2\times 3}{\frac{0.4}{3}\times 3}\\ & =\frac{-0.2\times 3}{0.4}\\ & =-\frac{3}{2}\end{array}$$

$\phantom{{\displaystyle \frac{50-50.2}{\frac{0.4}{3}}}}=-1.5$

符号を$+$にした$1.5$を、正規分布表で探すと、
$0.4332$
これを$0.5$から引いて、
$0.5-0.4332=0.0668$
$0.5-0.4332$$\doteqdot 0.07$
である。

解答ツ：０, テ：７

最初に、母平均の推定について復習しておく。

復習

母平均$m$の信頼区間は、標本の大きさを$n$，標本平均を$\bar{X}$，母標準偏差を$\sigma$とすると、
${\displaystyle \bar{X}-z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\leqq m\leqq \bar{X}+z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$式Ｄ
信頼度$95\mathrm{\%}$のとき、$z=1.96$ 信頼度$99\mathrm{\%}$のどき、$z=2.58$ だった。

問題文より、
母標準偏差は$0.2$ 標本の大きさは$100$ 標本平均は$50.10$ だから、式Ｄより、母平均$m$の信頼度$95\mathrm{\%}$での信頼区間は、
$50.10-$$1.96{\displaystyle \cdot \frac{0.2}{\sqrt{100}}}$$\leqq m\leqq 50.10+$$1.96{\displaystyle \cdot \frac{0.2}{\sqrt{100}}}$式Ｅ
とかける。

式Ｅの赤い部分は
$1.96{\displaystyle \cdot \frac{0.2}{\sqrt{100}}=1.96\cdot \frac{0.2}{10}}$
                $=1.96\cdot 0.02$
                $=0.0392$
だけど、たしたり引いたりする相手が$50.10$で小数点以下２桁だし、答えも小数点以下２桁まで出せばよいので、これも小数点以下２桁の
$1.96{\displaystyle \cdot \frac{0.2}{\sqrt{100}}\doteqdot 0.04}$式Ｆ
としておこう。

式Ｆを式Ｅに代入して、求める信頼区間は
$50.10-0.04\leqq m\leqq 50.10+0.04$
$50.06\leqq m\leqq 50.14$
となる。

解答ト：０, ナ：６, ニ：１, ヌ：４

この信頼区間の幅を半分にするためには、式Ｅの赤い部分の値が半分になればよい。
式Ｅの赤い部分は、式Ｄの
$u{\displaystyle \cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$
の部分にあたる。
$u$も$\sigma$も同じ値を使うので、求める標本の大きさを$x$として、
$u{\displaystyle \cdot \frac{\sigma }{\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\times u\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{100}}}$
となるような$x$を求めればよい。

これを解いて、
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{100}}}$
${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{400}}}$
$x=400$
である。

解答ネ：５