まず、指数関数のグラフを思いだそう。

復習

指数関数の$y=a^x$のグラフ

$0<a<1$のとき

$1<a$のとき

復習より、$y=a^x$のグラフは常に$x$軸よりも上にあるから、$0<y$である。
よって、
$X=2^x$式Ａ
のとき、
$0<X$
である。

解答チ：１

式①を変形して、

途中式

$4^{x+a}-2^{x+a}+a=0$①
$4^a\cdot 4^x-2^a\cdot 2^x+a=0$
$(2^2{)}^a\cdot (2^2{)}^x-2^a\cdot 2^x+a=0$

$2^{2a}\cdot (2^x{)}^2-2^a\cdot 2^x+a=0$
これに式Ａを代入すると
$2^{2a}\cdot X^2-2^a\cdot X+a=0$②
ができる。

解答ツ：２, テ：ａ, ト：ａ

式②の判別式をとると、
$$\begin{array}{rl}D& =(2^a{)}^2-4\cdot 2^{2a}\cdot a\\ & =2^{2a}-4\cdot 2^{2a}\cdot a\\ & =2^{2a}(1-4a)\end{array}$$ となる。

解答ナ：１, ニ：４

ここで、ちょっと遠回りな気がするかも知れないけれど、式②の方程式を
$y=2^{2a}\cdot X^2-2^a\cdot X+a$式Ｂ
とおいたグラフを考えておこう。

復習

$y=a{x}^2+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
${\displaystyle \frac{-b}{2a}}$
だった。

より、式Ｂのグラフの頂点の$X$座標は、
$$\begin{array}{rl}\frac{2^a}{2\cdot 2^{2a}}& =\frac{2^a}{2\cdot (2^a{)}^2}\\ & =\frac{1}{2\cdot 2^a}\\ & =\frac{1}{2^{a+1}}\end{array}$$ となるけど、(1)の復習より、
$0<2^{a+1}$
なので、
$0<{\displaystyle \frac{1}{2^{a+1}}}$
である。

また、チより、定義域は
$0<X$
である。

また、$a={\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき$D=0$である。
よって、このときの式Ｂのグラフは、定義域を緑の部分（$y$軸は含まない）として、図Ａになる。

グラフと$X$軸の接点（図Ａの赤い点）は定義域に含まれているので、この$X$座標が式②の方程式の解だ。
よって、②の解は
$X={\displaystyle \frac{1}{2^{a+1}}}$
だけど、$a={\displaystyle \frac{1}{4}}$なので、
$$\begin{array}{rl}X& =\frac{1}{2^{\frac{1}{4}+1}}\\ & =\frac{1}{2^{\frac{5}{4}}}\end{array}$$ である。

これを式Ａに代入して、
$$\begin{array}{rl}{2}^x& =\frac{1}{2^{\frac{5}{4}}}\\ & =2^{-\frac{5}{4}}\end{array}$$ より
$x=-{\displaystyle \frac{5}{4}}$
となる。

解答ヌ：－, ネ：５, ノ：４

$a\ne {\displaystyle \frac{1}{4}}$のとき、$D\ne 0$なので、式Ｂは図Ｂのようなグラフのいずれかになる。

このうち、
青いグラフは、$X$軸との共有点がない。なので、②の方程式は解を持たないので、不適。 オレンジのグラフは、定義域に$X$軸との共有点が２つある。なので、②の方程式は異なる２つの解を持つので、不適。 よって、赤いグラフが求める場合だ。
このグラフになる条件を考える。

こんなときには、定義域の端に注目する。
つまり、赤いグラフになるためには、
$X=0$のとき$y\leqq 0$ になればよい。
ということで、式Ｂに$X=0$を代入して
$y=a$
これが$y\leqq 0$になればよいので、
$a\leqq 0$
が赤いグラフになる条件だ。

解答ハ：３

このときの解は、図Ｂの赤い点の$X$座標。
②は因数分解できないので、ちょっと面倒だけど解の公式を使おう。

解の公式より、
$X={\displaystyle \frac{2^a\pm \sqrt{(2^a{)}^2-4\cdot 2^{2a}\cdot a}}{2\cdot 2^{2a}}}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{X}& =\frac{2^a\pm \sqrt{(2^a{)}^2(1-4a)}}{2\cdot 2^{2a}}\\ & =\frac{2^a\pm 2^a\sqrt{1-4a}}{2\cdot 2^{2a}}\end{array}$$

$\phantom{X}={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1-4a}}{2\cdot 2^a}}$
だけど、求める解は２つの解の大きい方なので、
$X={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1-4a}}{2\cdot 2^a}}$
である。
でも、求める解は$x$で、$X$じゃない。
なので、もうちょっと計算だ。

上の$X$の解を式Ａに代入して、
$2^x={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1-4a}}{2\cdot 2^a}}$
分母を払って、
$2\cdot 2^a\cdot 2^x=1+\sqrt{1-4a}$
$2^{x+a+1}=1+\sqrt{1-4a}$
両辺の底が$2$の対数をとって、
${\log }_2{2}^{x+a+1}={\log }_2(1+\sqrt{1-4a})$
$(x+a+1){\log }_{2}2={\log }_2(1+\sqrt{1-4a})$
${\log }_{2}2=1$なので、
$x+a+1={\log }_2(1+\sqrt{1-4a})$
$x=-a-1+{\log }_2(1+\sqrt{1-4a})$
となる。

解答ヒ：－, フ：１, ヘ：１