$C_{1}$と$C_{2}$の交点は、$C_{1}$と$C_{2}$の式の連立方程式方程式を解いて、
$3x^{2}=2x^{2}+a^{2}$
$x^{2}=a^{2}$
$x=\pm a$
これを$C_{1}$の式に代入して、
$(-a,3a^{2})$，$(a,3a^{2})$
となる。

この二つの交点のうち、$x$座標が大きい方が点$\mathrm{B}$なので、座標は
$(a,3a^{2})$
である。

解答ア：ａ, イ：３, ウ：２

$\ell$と$C_{1}$の接点を点$S$とする。

問題文より、$S$の$x$座標は$s$なので、$y$座標は
$3s^{2}$
になる。

また、$C_{1}$の式を微分すると
$y'=6x$
なので、点$S$における接線の傾きは
$6s$
である。

以上より、$\ell$の式は、
傾きが$6s$ $(s,3s^{2})$を通る 直線なので、
$y-3s^{2}=6s(x-s)$
より
$y=6sx-6s^{2}+3s^{2}$
$y=$$6s$$x$$-3s^{2}$式Ａ
となる。

解答エ：６, オ：３, カ：２

$\ell$と$C_{2}$の接点を点$T$とする。

問題文より、$T$の$x$座標は$t$なので、$y$座標は
$2t^{2}+a^{2}$
になる。

また、$C_{2}$を微分すると
$y'=4x$
なので、点$T$における接線の傾きは
$4t$
である。

以上より、$\ell$の式は
傾きが$4t$
$(t,2t^{2}+a^{2})$を通る
直線なので、
$y-(2t^{2}+a^{2})=4t(x-t)$
より
$y=4tx-4t^{2}+2t^{2}+a^{2}$
$y=$$4t$$x$$-2t^{2}+a^{2}$式Ｂ
となる。

解答キ：４, ク：２

式Ａと式Ｂは、両方とも直線$\ell$の方程式なので、
ふたつの式の$x$の係数（赤い部分）は等しい ふたつの式の定数項（青い部分）は等しい から、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
6s=4t\\
-3s^{2}=-2t^{2}+a^{2}
\end{array}\right.$
ができる。

連立方程式の上の式を変形して、
$3s=2t$式Ｃ
下の式の両辺を$2$倍して、
$-6s^{2}=-4t^{2}+2a^{2}$
$-6s^{2}=-(2t)^{2}+2a^{2}$
これに式Ｃを代入して、
$-6s^{2}=-(3s)^{2}+2a^{2}$

途中式

$-6s^{2}=-9s^{2}+2a^{2}$
$3s^{2}=2a^{2}$
$s^{2}=\displaystyle \frac{2}{3}a^{2}$

$s=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}a$
$s\displaystyle $$\displaystyle =\pm\frac{\sqrt{6}}{3}a$
となるけど、$S$は第１象限の点なので、
$0 \lt s$

また、問題文より、$a$は正の実数なので、
$s=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a$式Ｄ
となる。

解答ケ：６, コ：３

これを式Ｃに代入して、
$2t=3\displaystyle \cdot\frac{\sqrt{6}}{3}a$
$2t$$=\sqrt{6}a$
$t=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}a$式Ｅ
である。

解答サ：２

さらに、図Ｂの赤い図形の面積を求める。
図形の上端は、
点$S$から点$\mathrm{B}$までは、$C_{1}$ 点$\mathrm{B}$から点$T$までは、$C_{2}$ なので、緑の部分と青い部分に分けて面積を求めよう。

赤い図形の面積を、赤 緑の部分の面積を、緑 青い部分の面積を、青 とすると、
赤$=$緑$+$青
緑$=\displaystyle \int_{s}^{a}3x^{2}dx$
青$=\displaystyle \int_{a}^{t}(2x^{2}+a^{2})dx$
である。

これを普通に計算すると、
緑$=\displaystyle \int_{s}^{a}3x^{2}dx$
緑$=\left[\frac{3x^{3}}{3}\right]_{s}^{a}$
緑$=a^{3}-s^{3}$

青$=\displaystyle \int_{a}^{t}(2x^{2}+a^{2})dx$
青$=\left[\frac{2}{3}x^{3}+a^{2}x\right]_{a}^{t}$

途中式

青$\displaystyle =\frac{2}{3}(t^{3}-a^{3})+a^{2}(t-a)$
青$\displaystyle =\frac{1}{3}\{2(t^{3}-a^{3})+3a^{2}(t-a)\}$
青$\displaystyle =\frac{1}{3}(2t^{3}-2a^{3}+3ta^{2}-3a^{3})$

青$\displaystyle =\frac{1}{3}(2t^{3}+3ta^{2}-5a^{3})$

なので、
赤$=$緑$+$青

途中式

赤$\displaystyle =(a^{3}-s^{3})+\frac{1}{3}(2t^{3}+3ta^{2}-5a^{3})$
赤$\displaystyle =\frac{1}{3}(3a^{3}-3s^{3}+2t^{3}+3ta^{2}-5a^{3})$

赤$\displaystyle =\frac{1}{3}(-3s^{3}+2t^{3}+3ta^{2}-2a^{3})$
となる。

これに式Ｄ，式Ｅを代入して、
赤$=\displaystyle \frac{1}{3}\left\{-3\left(\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)^{3}+2\left(\frac{\sqrt{6}}{2}a\right)^{3}+3\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}a\cdot a^{2}-2a^{3}\right\}$

途中式

赤$\displaystyle =\frac{1}{3}a^{3}\left(-\frac{2\sqrt{6}}{3}+\frac{3\sqrt{6}}{2}+\frac{3\sqrt{6}}{2}-2\right)$
赤$\displaystyle =\frac{1}{3}a^{3}\left\{\left(-\frac{2}{3}+3\right)\sqrt{6}-2\right\}$
赤$\displaystyle =\frac{1}{3}a^{3}\left(\frac{7}{3}\sqrt{6}-2\right)$

赤$\displaystyle =\frac{7\sqrt{6}-6}{9}a^{3}$
である。

解答シ：７, ス：６, セ：６, ソ：９, タ：３

まず、もとになる式を作っておこう。
$f(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r$式Ｆ
を微分して、
$f'(x)=3x^{2}+2px+q$式Ｇ
となる。

$f(x)$は$x=-4$で極値をとるので、
$f'(-4)=0$
といえる。
よって、式Ｇより、
$3(-4)^{2}+2p(-4)+q=0$
$-8p+q=-48$式Ｈ₁
である。

$f(x)$は原点$(0,0)$を通るので、式Ｆより、
$r=0$
である。

解答ナ：０

$f(x)$は点$\mathrm{A}(-a,3a^{2})$を通るので、式Ｆより、
$(-a)^{3}+p(-a)^{2}+q(-a)+r=3a^{2}$
$-a^{3}+a^{2}p-aq+r=3a^{2}$
だけど、$r=0$なので、
$-a^{3}+a^{2}p-aq=3a^{2}$
$a\neq 0$なので、両辺を$a$で割って、
$-a^{2}+ap-q=3a$式Ｈ₂
である。

$f(x)$は点$\mathrm{B}(a,3a^{2})$を通るので、式Ｆより、
$a^{3}+a^{2}p+aq+r=3a^{2}$
だけど、$r=0$なので、
$a^{3}+a^{2}p+aq=3a^{2}$
$a\neq 0$なので、両辺を$a$で割って、
$a^{2}+ap+q=3a$式Ｈ₃
である。

以上より、連立方程式

	$-8p+q=-48$	式Ｈ1
	$-a^{2}+ap-q=3a$	式Ｈ2
	$a^{2}+ap+q=3a$	式Ｈ3

ができる。
この連立方程式を解く。

式Ｈ₂と式Ｈ₃を辺々たして、

	$-a^{2}$	$+ap$	$-q$	$=$	$3a$
$+)$	$a^{2}$	$+ap$	$+q$	$=$	$3a$
		$2ap$		$=$	$6a$

より、
$ap=3a$
ここで、$a\neq 0$なので、両辺を$a$で割って、
$p=3$式Ｉ₁
である。

解答チ：３

これを式Ｈ₁に代入して、
$-8\cdot 3+q=-48$
$q=-24$式Ｉ₂
となる。

解答ツ：－, テ：２, ト：４

式Ｉ₁，式Ｉ₂を式Ｈ₃に代入して、
$a^{2}+3a-24=3a$
$a^{2}=24$
$a=\pm\sqrt{24}$
$a$$=\pm 2\sqrt{6}$
だけど、$0 \lt a$なので、
$a=2\sqrt{6}$
である。

解答ノ：２, ハ：６

以上より、式Ｆ，式Ｇは
$f(x)=x^{3}+3x^{2}-24x$式Ｆ'
$f'(x)=3x^{2}+6x-24$式Ｇ'
となり、放物線$C_{2}$の式は
$y=2x^{2}+24$式Ｊ
となって、図Ｃのグラフができる。

式Ｇ'は
$f'(x)=3x^{2}+6x-24$
$f'(x)$$=3(x^{2}+2x-8)$
$f'(x)$$=3(x+4)(x-2)$
と因数分解できるので、
$x=-4$，$2$
のとき、$f'(x)=0$である。
よって、$f(x)$が極小となるのは、$x=2$のとき。
極小値は、$x=2$を式Ｆ'に代入して、
$2^{3}+3\cdot 2^{2}-24\cdot 2$
$=4(2+3-12)$
$=-28$
となる。

解答ニ：－, ヌ：２, ネ：８

最後に、図Ｃの赤い点の座標だ。
共有点の座標なので、$y=f(x)$と$C_{2}$の式の連立方程式を解く。
式Ｆ'$=$式Ｊより、
$x^{3}+3x^{2}-24x=2x^{2}+24$
である。これを解く。
$x^{3}+x^{2}-24x-24=0$式Ｋ

途中式

$x^{2}(x+1)-24(x+1)=0$
$(x+1)(x^{2}-24)=0$
$(x+1)(x-\sqrt{24})(x+\sqrt{24})=0$

$(x+1)(x-2\sqrt{6})(x+2\sqrt{6})=0$
より、
$x=-1$，$2\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$
となるけど、今必要なのは点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の共有点だ。
なので、赤い点の$x$座標は
$x=-1$
$y$座標は、これを式Ｊに代入して、
$y=2\cdot(-1)^{2}+24$
$y$$=26$
である。

解答ヒ：－, フ：１, ヘ：２, ホ：６