$C_1$と$C_2$の交点は、$C_1$と$C_2$の式の連立方程式方程式を解いて、
$3x^2=2x^2+a^2$
$x^2=a^2$
$x=\pm a$
これを$C_1$の式に代入して、
$(-a,3a^2)$，$(a,3a^2)$
となる。

この二つの交点のうち、$x$座標が大きい方が点$\mathrm{B}$なので、座標は
$(a,3a^2)$
である。

解答ア：ａ, イ：３, ウ：２

$\ell$と$C_1$の接点を点$S$とする。

問題文より、$S$の$x$座標は$s$なので、$y$座標は
$3s^2$
になる。

また、$C_1$の式を微分すると
$y^{\prime }=6x$
なので、点$S$における接線の傾きは
$6s$
である。

以上より、$\ell$の式は、
傾きが$6s$ $(s,3s^2)$を通る 直線なので、
$y-3s^2=6s(x-s)$
より
$y=6sx-6s^2+3s^2$
$y=$$6s$$x$$-3s^2$式Ａ
となる。

解答エ：６, オ：３, カ：２

$\ell$と$C_2$の接点を点$T$とする。

問題文より、$T$の$x$座標は$t$なので、$y$座標は
$2t^2+a^2$
になる。

また、$C_2$を微分すると
$y^{\prime }=4x$
なので、点$T$における接線の傾きは
$4t$
である。

以上より、$\ell$の式は
傾きが$4t$
$(t,2t^2+a^2)$を通る
直線なので、
$y-(2t^2+a^2)=4t(x-t)$
より
$y=4tx-4t^2+2t^2+a^2$
$y=$$4t$$x$$-2t^2+a^2$式Ｂ
となる。

解答キ：４, ク：２

式Ａと式Ｂは、両方とも直線$\ell$の方程式なので、
ふたつの式の$x$の係数（赤い部分）は等しい ふたつの式の定数項（青い部分）は等しい から、連立方程式
$\{\begin{array}{l}6s=4t\\ -3s^2=-2t^2+a^2\end{array}$
ができる。

連立方程式の上の式を変形して、
$3s=2t$式Ｃ
下の式の両辺を$2$倍して、
$-6s^2=-4t^2+2a^2$
$-6s^2=-(2t{)}^2+2a^2$
これに式Ｃを代入して、
$-6s^2=-(3s{)}^2+2a^2$

途中式

$-6s^2=-9s^2+2a^2$
$3s^2=2a^2$
$s^2={\displaystyle \frac{2}{3}{a}^2}$

$$\begin{array}{rl}s& =\pm \sqrt{\frac{2}{3}}a\\ & =\pm \frac{\sqrt{6}}{3}a\end{array}$$ となるけど、$S$は第１象限の点なので、
$0<s$

また、問題文より、$a$は正の実数なので、
$s={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a}$式Ｄ
となる。

解答ケ：６, コ：３

これを式Ｃに代入して、
$2t=3{\displaystyle \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}a}$
$2t$$=\sqrt{6}a$
$t={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}a}$式Ｅ
である。

解答サ：２

さらに、図Ｂの赤い図形の面積を求める。
図形の上端は、
点$S$から点$\mathrm{B}$までは、$C_1$ 点$\mathrm{B}$から点$T$までは、$C_2$ なので、緑の部分と青い部分に分けて面積を求めよう。

赤い図形の面積を、赤 緑の部分の面積を、緑 青い部分の面積を、青 とすると、
赤$=$緑$+$青 緑$={\displaystyle {\int }_s^{a}3x^{2}dx}$ 青$={\displaystyle {\int }_a^t(2x^2+a^2)dx}$ である。

これを普通に計算すると、
$$\begin{array}{rl}\text{緑}& ={\int }_s^{a}3x^{2}dx\\ & ={\left[\frac{3x^3}{3}\right]}_s^a\\ & =a^3-s^3\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\text{青}& ={\int }_a^t(2x^2+a^2)dx\\ & ={[\frac{2}{3}{x}^3+a^{2}x]}_a^t\end{array}$$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\text{青}}& =\frac{2}{3}(t^3-a^3)+a^2(t-a)\\ & =\frac{1}{3}\{2(t^3-a^3)+3a^2(t-a)\}\\ & =\frac{1}{3}(2t^3-2a^3+3t{a}^2-3a^3)\end{array}$$

$\phantom{\text{青}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(2t^3+3t{a}^2-5a^3)$

なので、
$\text{赤}=\text{緑}+\text{青}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\text{赤}}& =(a^3-s^3)+\frac{1}{3}(2t^3+3t{a}^2-5a^3)\\ & =\frac{1}{3}(3a^3-3s^3+2t^3+3t{a}^2-5a^3)\end{array}$$

$\phantom{\mathrm{赤}}={\displaystyle \frac{1}{3}}(-3s^3+2t^3+3t{a}^2-2a^3)$
となる。

これに式Ｄ，式Ｅを代入して、
$\text{赤}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left\{\begin{array}{r}-3{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)}^3+2{\left(\frac{\sqrt{6}}{2}a\right)}^3\\ +3\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}a\cdot a^2-2a^3\end{array}\right\}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\text{赤}}& =\frac{1}{3}{a}^3(-\frac{2\sqrt{6}}{3}+\frac{3\sqrt{6}}{2}+\frac{3\sqrt{6}}{2}-2)\\ & =\frac{1}{3}{a}^3\{(-\frac{2}{3}+3)\sqrt{6}-2\}\\ & =\frac{1}{3}{a}^3(\frac{7}{3}\sqrt{6}-2)\end{array}$$

赤${\displaystyle =\frac{7\sqrt{6}-6}{9}{a}^3}$
である。

解答シ：７, ス：６, セ：６, ソ：９, タ：３

まず、もとになる式を作っておこう。
$f(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$式Ｆ
を微分して、
$f^{\prime }(x)=3x^2+2px+q$式Ｇ
となる。

$f(x)$は$x=-4$で極値をとるので、
$f^{\prime }(-4)=0$
といえる。
よって、式Ｇより、
$3(-4{)}^2+2p(-4)+q=0$
$-8p+q=-48$式Ｈ₁
である。

$f(x)$は原点$(0,0)$を通るので、式Ｆより、
$r=0$
である。

解答ナ：０

$f(x)$は点$\mathrm{A}(-a,3a^2)$を通るので、式Ｆより、
$(-a{)}^3+p(-a{)}^2+q(-a)+r=3a^2$
$-a^3+a^{2}p-aq+r=3a^2$
だけど、$r=0$なので、
$-a^3+a^{2}p-aq=3a^2$
$a\ne 0$なので、両辺を$a$で割って、
$-a^2+ap-q=3a$式Ｈ₂
である。

$f(x)$は点$\mathrm{B}(a,3a^2)$を通るので、式Ｆより、
$a^3+a^{2}p+aq+r=3a^2$
だけど、$r=0$なので、
$a^3+a^{2}p+aq=3a^2$
$a\ne 0$なので、両辺を$a$で割って、
$a^2+ap+q=3a$式Ｈ₃
である。

以上より、連立方程式
$-8p+q=-48$式Ｈ₁ $-a^2+ap-q=3a$式Ｈ₂ $a^2+ap+q=3a$式Ｈ₃ ができる。
この連立方程式を解く。

式Ｈ₂と式Ｈ₃を辺々たして、

	$-a^2$	$+ap$	$-q$	$=$	$3a$
$+)$	$a^2$	$+ap$	$+q$	$=$	$3a$
		$2ap$		$=$	$6a$

より、
$ap=3a$
ここで、$a\ne 0$なので、両辺を$a$で割って、
$p=3$式Ｉ₁
である。

解答チ：３

これを式Ｈ₁に代入して、
$-8\cdot 3+q=-48$
$q=-24$式Ｉ₂
となる。

解答ツ：－, テ：２, ト：４

式Ｉ₁，式Ｉ₂を式Ｈ₃に代入して、
$a^2+3a-24=3a$
$a^2=24$
$a=\pm \sqrt{24}$
$a$$=\pm 2\sqrt{6}$
だけど、$0<a$なので、
$a=2\sqrt{6}$
である。

解答ノ：２, ハ：６

以上より、式Ｆ，式Ｇは
$f(x)=x^3+3x^2-24x$式Ｆ'
$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-24$式Ｇ'
となり、放物線$C_2$の式は
$y=2x^2+24$式Ｊ
となって、図Ｃのグラフができる。

式Ｇ'は
$f^{\prime }(x)=3x^2+6x-24$
$f^{\prime }(x)$$=3(x^2+2x-8)$
$f^{\prime }(x)$$=3(x+4)(x-2)$
と因数分解できるので、
$x=-4$，$2$
のとき、$f^{\prime }(x)=0$である。
よって、$f(x)$が極小となるのは、$x=2$のとき。
極小値は、$x=2$を式Ｆ'に代入して、
$2^3+3\cdot 2^2-24\cdot 2$
$=4(2+3-12)$
$=-28$
となる。

解答ニ：－, ヌ：２, ネ：８

最後に、図Ｃの赤い点の座標だ。
共有点の座標なので、$y=f(x)$と$C_2$の式の連立方程式を解く。
式Ｆ'$=$式Ｊより、
$x^3+3x^2-24x=2x^2+24$
である。これを解く。
$x^3+x^2-24x-24=0$式Ｋ

途中式

$x^2(x+1)-24(x+1)=0$
$(x+1)(x^2-24)=0$
$(x+1)(x-\sqrt{24})(x+\sqrt{24})=0$

$(x+1)(x-2\sqrt{6})(x+2\sqrt{6})=0$
より、
$x=-1$，$2\sqrt{6}$，$-2\sqrt{6}$
となるけど、今必要なのは点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$以外の共有点だ。
なので、赤い点の$x$座標は
$x=-1$
$y$座標は、これを式Ｊに代入して、
$y=2\cdot (-1{)}^2+24$
$y$$=26$
である。

解答ヒ：－, フ：１, ヘ：２, ホ：６