${\displaystyle \frac{4}{4-\sqrt{7}}}$の分母分子に$4+\sqrt{7}$をかけて、
${\displaystyle \alpha =\frac{4(4+\sqrt{7})}{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}}$
${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle =\frac{4(4+\sqrt{7})}{4^2-{\sqrt{7}}^2}}$
${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle =\frac{16+4\sqrt{7}}{9}}$式Ａ
である。

解答ア：１, イ：６, ウ：４, エ：７, オ：９

$p+q\sqrt{7}=0$
を変形して、
$p=-q\sqrt{7}$式Ｂ
とする。

復習

$a$を有理数としたとき、
$a=0$のとき、$a\times$無理数$=$有理数（つまり$0$）
$a\ne 0$のとき、$a\times$無理数$=$無理数
である。

なので、$q\ne 0$のとき、式Ｂは
有理数$=$無理数
となって、成り立たない。

よって、式Ｂが成り立つためには
$q=0$
でなければならない。
これを式Ｂに代入して、
$p=0\sqrt{7}$
$p$$=0$
である。

解答カ：０

復習

考え方を説明すると上の解説の通りなんだけど、時間がかかるから、普段は単に

公式

$a$，$b$が有理数、$C$が無理数のとき、
$a+bC=0\Rightarrow a=b=0$

と憶えておこう。

式Ａと、問題文中の$\beta$の式から、
${\displaystyle \alpha -\beta =\frac{16+4\sqrt{7}}{9}-\frac{9-(r^2-3r)\sqrt{7}}{5}}$
${\displaystyle \alpha -\beta }$${\displaystyle =\frac{16}{9}+\frac{4\sqrt{7}}{9}-\frac{9}{5}+\frac{(r^2-3r)\sqrt{7}}{5}}$
${\displaystyle \alpha -\beta }$${\displaystyle =\frac{16}{9}-\frac{9}{5}+\frac{4}{9}\sqrt{7}+\frac{r^2-3r}{5}\sqrt{7}}$
$\alpha -\beta$${\displaystyle =(\frac{16}{9}-\frac{9}{5})+}$${\displaystyle (\frac{4}{9}+\frac{r^2-3r}{5})}$$\sqrt{7}$
とかける。

これが有理数になるためには、$\sqrt{7}$の係数（赤文字の部分）が$0$になればよい。

なので、
${\displaystyle \frac{4}{9}+\frac{r^2-3r}{5}=0}$式Ｃ
である。

解答キ：５

式Ｃを解いて、
$5\cdot 4+9(r^2-3r)=0$
$9r^2-27r+5\cdot 4=0$
たすきがけをして、

$3$		$-5$	→	$-15$
$3$		$-4$	→	$-12$
				$-27$

より、
$r={\displaystyle \frac{5}{3}}$，${\displaystyle \frac{4}{3}}$
である。

解答ク：５, ケ：３, コ：４, サ：３
または
ク：４, ケ：３, コ：５, サ：３