８つのものを１列に並べるんだけど、そのうち４つ，２つ，２つはそれぞれ区別がつかない。
なので、場合の数は
${\displaystyle \frac{8!}{4!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{2\cdot 2}}$
             $=2\cdot 7\cdot 6\cdot 5$
             $=420$
である。

解答ア：４, イ：２, ウ：０

１以外のカードを先に並べ、あとから１を差し込むことにしよう。

１以外の４枚のカードの並べ方は、
${\displaystyle \frac{4!}{2!\cdot 2!}}$通り。

図の固定

並べた４枚のカードの間に１を差し込むんだけど、差し込むことができる場所は、図Ａのように５か所ある。
そのうちの４か所に差し込むので、差し込み方は
${}_5{\mathrm{C}}_4$通り。

１以外のカードを並べて、間に１を差し込んで、両方の作業を行わないと試行が終わらない。
なので、この２つの数はかけ算だ。
${\displaystyle \frac{4!}{2!\cdot 2!}\times {}_5{\mathrm{C}}_4=3\cdot 2\cdot 5}$
                  $=30$
なので、条件(*)を満たす整数は$30$個である。

解答エ：３, オ：０

$P(A_0)$は、８枚のカードから３枚取り出し、５が１枚も含まれていない確率。
つまり、５以外の６枚から３枚出る確率なので、
$P(A_0)={\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{{}_8{\mathrm{C}}_3}}$
$P(A_0){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}}}$
$P(A_0){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{6\cdot 5\cdot 4}{8\cdot 7\cdot 6}}$
$P(A_0){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{5}{2\cdot 7}}$
$P(A_0){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{5}{14}}$

解答カ：５, キ：１, ク：４

$P(A_1)$は、２枚の５から１枚，６枚の５以外から２枚出る確率。
$P(A_1)={\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_1\cdot {}_6{\mathrm{C}}_2}{{}_8{\mathrm{C}}_3}}$
$P(A_1){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2\cdot \frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}}{\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}}}$
$P(A_1){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{5}{\frac{4\cdot 7}{3}}}$
$P(A_1){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{5\cdot 3}{4\cdot 7}}$
$P(A_1){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{15}{28}}$式Ａ

解答ケ：１, コ：５, サ：２, シ：８

$P(A_2)$は、２枚の５全部と，６枚の５以外から１枚出る確率。
だけど、５は２枚しかないので、取り出した３枚のうちの５の数は
０枚（$A_0$） １枚（$A_1$） ２枚（$A_2$） の３パターンしかない。
はじめの２パターンの確率はすでに求めてあるので、余事象として$P(A_2)$を求めた方が早い。

以上の考え方から、
$P(A_2)=1-(P(A_0)+P(A_1))$
$P(A_2)$$=1-(\frac{5}{14}+\frac{15}{28})$
$P(A_2){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{28}{28}-\frac{10+15}{28}}$
$P(A_2){\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3}{28}}$式Ｂ
である。

解答ス：３, セ：２, ソ：８

$P(A_1\cap B)$は、$A_1$が起こり、そのうちから１枚取り出すと５である確率。
$A_1$が起こる確率は、式Ａより
${\displaystyle \frac{15}{28}}$

$A_1$が起こっているので、袋の中には
５ １または２ １または２ のカードが入っている。
これから１枚取り出すと５なので、その確率は
${\displaystyle \frac{1}{3}}$

よって、
$P(A_1{\displaystyle \cap B)=\frac{15}{28}\cdot \frac{1}{3}}$
$P(A_1{\displaystyle \cap B)}$${\displaystyle =\frac{5}{28}}$式Ｃ
である。

解答タ：５, チ：２, ツ：８

$P(A_2\cap B)$も同様に考えよう。
$A_2$が起こる確率は、式Ｂより
${\displaystyle \frac{3}{28}}$

$A_2$が起こっているので、袋の中には
５ ５ １または２ のカードが入っている。
これから１枚取り出すと５なので、その確率は
${\displaystyle \frac{2}{3}}$

よって、
$P(A_2{\displaystyle \cap B)=\frac{3}{28}\cdot \frac{2}{3}}$
$P(A_2{\displaystyle \cap B)}$${\displaystyle =\frac{1}{14}}$式Ｄ
である。

解答テ：１, ト：１, ナ：４

ここで、条件付き確率の復習をすると、

事象$B$、つまり試行$T_2$で５が出るのは、さっき確率を求めた
$A_1\cap B$ $A_2\cap B$ の２パターンしかない。
なので、事象$B$が起こる確率$P(B)$は
$P(B)=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)$
で、これは、式Ｃと式Ｄより
$P(B)={\displaystyle \frac{5}{28}+\frac{1}{14}}$
である。
これが、復習の式Ｅの分母にあたる。

また、試行$T_2$で５が出て、袋の中にも５が入っているためには、
試行$T_1$で５が２枚取り出される 試行$T_2$で５が取り出される の両方が起こった場合なので、$A_2\cap B$の事象だ。
なので、確率は、式Ｄより
$P(A_2{\displaystyle \cap B)=\frac{1}{14}}$
である。
これが、復習の式Ｅの分子にあたる。

以上より、求める条件付き確率は、
${\displaystyle \frac{\frac{1}{14}}{\frac{5}{28}+\frac{1}{14}}}$
となる。
この分母分子に$28$をかけて、
${\displaystyle \frac{\frac{1}{14}\cdot 28}{\frac{5}{28}\cdot 28+\frac{1}{14}\cdot 28}=\frac{2}{5+2}}$
                      $={\displaystyle \frac{2}{7}}$
である。

解答ニ：２, ヌ：７