大学入試センター試験 2018年(平成30年) 追試数学ⅠＡ第２問 [2] 解説

(1)

最初に、期間Ａ，Ｂの相関係数と、全期間の相関係数との大小関係の問題。
全期間の共分散も $X$ と $Y$ の標準偏差も分かっているので、とにかく手を動かそう。

まず、相関係数の復習から。

復習

データ $X$ の標準偏差を $s_{x}$ ，データ $Y$ の標準偏差を $s_{y}$ ， $X$ と $Y$ の共分散を $s_{x y}$ とすると、相関係数 $r_{x y}$ は
$r_{x y} = \frac{s_{x y}}{s_{x} \cdot s_{y}}$
である。

問題文の表１から、全期間の $X$ の標準偏差は $0.105$ ， $Y$ の標準偏差は $0.260$ ， $X$ と $Y$ の共分散は $0.0263$ なので、相関係数 $r$ は
$r = \frac{0.0263}{0.105 \cdot 0.260}$
$r$ $≑ 0.96$
となる。
よって、正しいのは⑤の $0.91 < r$ である。

解答シ：５

(2)

まず、箱ひげ図の復習をしておこう。

復習

図の固定

範囲は、最大値 $-$ 最小値
四分位範囲は、第３四分位数 $-$ 第１四分位数

復習が終わったところで、選択肢の⓪～⑥をひとつずつ確認する。

⓪ 問題文の図４を見ると、期間Ａの最大値（ひげの右端）は、期間Ｂのひげの右端よりも右にある。なので、誤り。

① 問題文の図４を見ると、期間Ａの第１四分位数（箱の左端）は、期間Ｂの箱の左端よりもわずかに右にあるようだ。なので、誤り。

② 問題文の図４を見ると、期間Ａも期間Ｂも、四分位範囲（箱の幅）は0.6～0.7の間の数。なので、差は0.2より小さいから、誤り。

③ 問題文の図４を見ると、期間Ａの範囲（ひげの右端から左端の幅）は、期間Ｂのものよりも大きい。なので、誤り。

④ 問題文より、期間Ａの中央値は0.0584、期間Ｂの中央値は0.0252。
また、図４より、期間Ａも期間Ｂも四分位範囲（箱の幅）は0.6～0.7の間の数。
期間Ａも期間Ｂも、四分位範囲は中央値の絶対値の10倍以上なので、当然８倍より大きい。
よって、正しい。

⑤ 問題文の図４を見ると、期間Ａの第３四分位数は0.4付近。
図３を見ると、期間Ａで度数が最大なのは、0～0.5の階級。
この階級に0.4前後の数は含まれるので、正しい。

⑥ 問題文の図４を見ると、期間Ｂの第１四分位数は-0.3付近。
図３を見ると、期間Ｂで度数が最大なのは、0～0.5の階級。
この階級に-0.3前後の数は含まれないので、誤り。

以上より、当てはまるものは④⑤である。

解答ス：４, セ：５（順不同）

(3)

今回もまず復習から。
データの変換と統計量の関係の復習をしておこう。

復習

データ ${x}$ があり、その
平均値を $\overset{―}{x}$ 分散を $s_{x}^{2}$ 標準偏差を $s_{x}$ とする。

${x}$ のすべてを $a$ 倍して $b$ を加えて、新しいデータ ${X}$ をつくる。
式にすると、
$X_{n} = a x_{n} + b$
として新しいデータをつくる。

このとき、新しいデータ ${X}$ の
平均値は $a \overset{―}{x} + b$ 分散は $a^{2} s_{x}^{2}$ 標準偏差は $| a | s_{x}$ 式Ａとなる。

さらに、共分散と相関係数については、

データ ${x}$ ， ${y}$ があり、その
共分散を $s_{x y}$ 相関係数を $r_{x y}$ とする。

${x}$ ， ${y}$ のそれぞれを
$X_{n} = a x_{n} + b$
$Y_{n} = c y_{n} + d$
として新しいデータ ${X}$ ， ${Y}$ をつくる。

このとき、 ${X}$ ， ${Y}$ の
共分散は $a c \cdot s_{x y}$ 式Ｂ相関係数は、
$a$ と $c$ が同符号のとき、 $r_{x y}$
異符号のとき、 $- r_{x y}$ 式Ｃとなる。

式Ｃより、選択肢の⓪，④以外は不適。
⓪は $a$ と $c$ が同符号であれば正しいんだけど、異符号だと困る。
というわけで④が正しそうなんだけど、理由が何となくじゃいけないので、ちゃんと考えてみる。

$a$ と $c$ が同符号のとき
（ $a < 0 \cap c < 0$ または $0 < a \cap 0 < c$ のとき）
$0 < a c$ なので、 $| a c | = a c$
よって、
$\frac{a c}{| a c |} = 1$

$a$ と $c$ が異符号のとき
（ $a < 0 \cap 0 < c$ または $a < 0 \cap 0 < c$ のとき）
$a c < 0$ なので、 $| a c | = - a c$
よって、
$\frac{a c}{| a c |} = \frac{a c}{- a c} = - 1$

以上より、
$\frac{a c}{| a c |} = {\begin{cases} 1 & (a, c が同符号のとき) \\ - 1 & (a, c が異符号のとき) \end{cases}$
となるので、④は正しい。

解答ソ：４

別解

上の解説のように、直接相関係数を考えるよりも、共分散と標準偏差から考えた方が分かりやすいかも知れない。

$X$ ， $Y$ の標準偏差を $s_{x}$ ， $s_{y}$ とし、共分散を $s_{x y}$ としたとき、
式Ａより、 $X^{'}$ ， $Y^{'}$ の標準偏差は $| a | s_{x}$ ， $| c | s_{y}$
式Ｂより、 $X^{'}$ と $Y^{'}$ の共分散は、 $a c \cdot s_{x y}$
となる。

なので、 $X^{'}$ と $Y^{'}$ の相関係数は
$\frac{a c \cdot s_{x y}}{| a | s_{x} \cdot | c | s_{y}} = \frac{a c}{| a c |} \cdot$ $\frac{s_{x y}}{s_{x} \cdot s_{y}}$
となるけど、上の式の赤文字の部分は $X$ と $Y$ の相関係数だ。
よって、正解は④である。

解答ソ：４

(4)

さらに、相関係数と散布図について復習する。

復習

ここに載せた散布図は、全て
横軸 $α$ は右が大きい値、
縦軸 $β$ は上が大きい値
であるとする。

図Ａ・図Ｂのように、点が直線状に連なっているとき、 $α$ と $β$ の間には相関があるという。
図Ａのように右上がりの場合を「正の相関」といい、図Ｂのように右下がりの場合を「負の相関」という。

図の固定

また、同じ正の相関であっても、図Ａと図Ｃを比較すると、図Ａの方がより直線状になっている。このような場合、図Ａの方が「相関が強い」といい、図Ｃの方が「相関が弱い」という。相関が強い場合、相関係数は、
正の相関なら $1$ に
負の相関なら $- 1$ に近づく。相関が弱い場合、相関係数は $0$ に近づく。

これを考えながら問題文中の散布図を見る。

散布図１は、右上がりの直線状に点が分布している（図Ｄ）従って、３つの散布図中で相関係数が最も $1$ に近いと考えられる。よって、
$r_{1} = 0.98$
である。

散布図２と３はちょっと分かりにくいけど、
散布図２は...分布に沿って直線を引くのは無理だねぇ（図Ｅ）散布図３も難しいけど、分布図２よりは右下がりの直線に近い（図Ｆ）

従って、分布図３の相関係数が $- 1$ に近く、分布図２の相関係数が $0$ に近いと考えられる。

よって、
$r_{2} = 0.10$
$r_{3} = - 0.76$
になる。

以上より、正しい組合せは⑤である。

解答タ：５

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