まず、$a^2-3<a$を解く。
$a^2-a-3<0$
$a^2-a-3=0$のとき、解の公式より、
$a={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}}$
$a{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1\pm \sqrt{1+12}}{2}}$
$a{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}}$
なので、上の不等式の解は
${\displaystyle \frac{1-\sqrt{13}}{2}<a<\frac{1+\sqrt{13}}{2}}$式Ａ
である。

解答ト：１, ナ：１, ニ：３, ヌ：２

$f(x)=-x^2+1$
は、頂点が$(0,1)$で、上に凸の放物線。
その最大値が$1$なので、定義域に頂点が含まれればよい。
$a^2-3<a$なので、図Ａのように、軸の右に$a$，軸の左に$a^2-3$があればよいことが分かる。
また、$a$や$a^2-3$が軸に重なってもＯＫだ。

以上より、不等式
$a^2-3\leqq 0\leqq a$
ができる。
この不等式を解く。

左辺と中辺より、
$a^2-3\leqq 0$
$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})\leqq 0$
$-\sqrt{3}\leqq a\leqq \sqrt{3}$式Ｂ
中辺と右辺より、
$0\leqq a$式Ｃ

式Ｂと式Ｃの共通部分が、求める$a$の範囲だ。
これは、数直線を描くまでもなく、
$0\leqq a\leqq \sqrt{3}$式Ｄ
である。

解答ネ：０, ノ：３

アドバイス

あれ？式Ａとの共通部分は求めなくていいの？っていう人もいるかも知れないけれど。
図Ａの段階で $a^2-3<a$ になっているので大丈夫です。
てか、共通部分を求めても間違いってワケじゃないけど、答えには影響ないです。

次は、最小値が$f(a)$となる$a$の範囲だ。
$x=a$のときに最小値になればよいので、図Ｂのように、定義域の右端から軸までの距離が 定義域の左端から軸までの距離よりも大きければよいことが分かる。

また、両方の距離が等しいとき、$f(a)$と$f(a^2-3)$の両方が最小値になるけれど、問題文は「最小値が$f(a)$のみ」ではないのでOKだ。

定義域の右端から軸までの距離は、$a-0=a$
定義域の左端から軸までの距離は、$0-(a^2-3)=-a^2+3$
なので、不等式
$-a^2+3\leqq a$
ができる。

これを解く。
$0\leqq a^2+a-3$
$a^2+a-3=0$のとき、解の公式より、
$a={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}}$
$a{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt{1+12}}{2}}$
$a{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}}$
なので、上の不等式の解は
$a{\displaystyle \leqq \frac{-1-\sqrt{13}}{2}}$，${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\leqq a}$式Ｅ
である。

式Ｄのとき、$y=f(x)$の最大値は$1$
式Ｅのとき、$y=f(x)$の最小値は$f(a)$
この両方の条件を満たさなければならないので、式Ｄと式Ｅの共通部分が答えだ。

式Ｅの$a{\displaystyle \leqq \frac{-1-\sqrt{13}}{2}}$は明らかに負の数。
式Ｄより$0\leqq a$なので、この部分は考えない。

次は、${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\leqq a}$の部分だけど。
今回は、問題文のマスから
${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{13}}{2}<\sqrt{3}}$
だというのは想像がつくけど、せっかくだから、それが分からない場合のための復習もしておこう。

まず$\sqrt{13}$がどのくらいの数か考える。
$\sqrt{9}<\sqrt{13}<\sqrt{16}$
なので、
$3<\sqrt{13}<4$
この各辺に$-1$をたして、
$2<-1+\sqrt{13}<3$
各辺を$2$で割って、
$1<{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{13}}{2}<\frac{3}{2}}$
ここで、
$\sqrt{3}\doteqdot 1.73$
なので、
${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{13}}{2}<\sqrt{3}}$
である。

以上より、式Ｄと式Ｅの共通部分は、
${\displaystyle \frac{-1+\sqrt{13}}{2}\leqq a\leqq \sqrt{3}}$
で、これが求める$a$の範囲だ。

解答ハ：－, ヒ：１, フ：１, ヘ：３, ホ：２