式①に$s=4$を代入すると、
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{2a_{n}+4}{a_{n}+2}$
$a_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2(a_{n}+2)}{a_{n}+2}$
$a_{n+1}$$=2$
となる。

よって、数列$\{a_{n}\}$は、
初項$a_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$ $2$項目以降は、全部$2$ なので、
$a_{2}=2$
$a_{100}=2$
である。

解答ア：２, イ：２

$b_{n}=\displaystyle \frac{1}{a_{n}}$
なので、
$b_{1}=\displaystyle \frac{1}{a_{1}}$
$b_{1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{\frac{1}{2}}$
$b_{1}$$=2$
である。

解答ウ：２

式①に$s=0$を代入すると、
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{2a_{n}}{a_{n}+2}$式Ａ
となる。
この先どうしようか一瞬悩むけど、
$b_{n}=\displaystyle \frac{1}{a_{n}}$
とおくので、とにかく分母が$a_{n}$や$a_{n+1}$の分数をつくろう。

言うまでもないかも知れないけれど、
$b_{n}=\displaystyle \frac{1}{a_{n}}$式Ｂ1
ならば
$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}$式Ｂ2
である。

式Ａの両辺の逆数をとって、
$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}+2}{2a_{n}}$
$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}$$\displaystyle =\frac{a_{n}}{2a_{n}}+\frac{2}{2a_{n}}$
$\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{a_{n}}$
これに式Ｂ1，式Ｂ2を代入して、
$b_{n+1}=\displaystyle \frac{1}{2}+b_{n}$
$b_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =b_{n}+\frac{1}{2}$
となる。

解答エ：１, オ：２

$c_{n}=\displaystyle \frac{1+a_{n}}{1 - a_{n}}$式Ｃ
なので、
$c_{1}=\displaystyle \frac{1+a_{1}}{1-a_{1}}$
$c_{1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$
$b_{1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2+1}{2-1}$
$b_{1}$$=3$
である。

解答ク：３

式①に$s=1$を代入すると、
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{2a_{n}+1}{a_{n}+2}$式Ｄ
となる。

またこの先どうしようか悩むけど、材料は
$c_{n}=\displaystyle \frac{1+a_{n}}{1-a_{n}}$式Ｃ と
$a_{n+1}=\displaystyle \frac{2a_{n}+1}{a_{n}+2}$式Ｄ の２つしかない。
この２つの式を使って、$c_{n+1}$と$c_{n}$だけの式をつくるわけだ。

とりあえずは代入を考える。で、作りやすい部分だけ作って、あとはできた式を見ながら考えよう。
まず、$c_{n+1}$を作る。
式Ｃより、
$c_{n+1}=\displaystyle \frac{1+a_{n+1}}{1-a_{n+1}}$式Ｃ'
である。これに式Ｄを代入すると、$c_{n+1}$を式$a_{n}$で表せる。

式Ｃ'に式Ｄを代入して、
$c_{n+1}=\displaystyle \frac{1+\frac{2a_{n}+1}{a_{n}+2}}{1-\frac{2a_{n}+1}{a_{n}+2}}$
複分数は面倒なので、何とかしよう。

右辺の分母分子に$a_{n}+2$をかけて、
$c_{n+1}=\displaystyle \frac{(a_{n}+2)+(2a_{n}+1)}{(a_{n}+2)-(2a_{n}+1)}$
$c_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3a_{n}+3}{1-a_{n}}$
$c_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3(a_{n}+1)}{1-a_{n}}$
$c_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =3\cdot\frac{1+a_{n}}{1-a_{n}}$
となって、右辺に式Ｃと同じ形ができた。

これに式Ｃを代入して、
$c_{n+1}=3c_{n}$式Ｅ
となる。

式Ｅは復習の２番目のパターンなので、$\{c_{n}\}$は
クより、初項$c_{1}=3$ 公比が$3$ の等比数列である。

等比数列の一般項の式より、
$c_{n}=3\cdot 3^{n-1}$
$c_{n}$$=3^{n}$式Ｈ
となる。
あとは、$\{c_{n}\}$の一般項を$\{a_{n}\}$の一般項に変換すればOKだ。
$\{c_{n}\}$と$\{a_{n}\}$の関係式は式Ｃなので、これを使う。

式Ｃに式Ｈを代入して、
$3^{n}=\displaystyle \frac{1+a_{n}}{1-a_{n}}$
$(1-a_{n})3^{n}=1+a_{n}$

途中式

$3^{n}-3^{n}a_{n}=1+a_{n}$
$3^{n}a_{n}+a_{n}=3^{n}-1$
$(3^{n}+1)a_{n}=3^{n}-1$

$a_{n}=\displaystyle \frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$式Ｉ
となる。
式Ｅを別解の方法で求めた場合は、式Ｆ1に式Ｈを代入すれば、すぐに式Ｉができる。

だけど、これじゃ問題文のマスに合わない。
なので、もう少し計算だ。
式Ｉの右辺の分子に$1$をたして引いて、

詳しく

分子が$3^{n}+1$だったら、約分して
$\displaystyle \frac{3^{n}+1}{3^{n}+1}=1$
とできる。
なので、分子に
$3^{n}+1$
を作りたい。

$3^{n}$はすでに存在するけど、$+1$がない。
なので、$+1$を作ろう。
でも、単に$+1$を書き加えると、式の値が変わっちゃう。
なので、$1$をたして$1$を引いて、$\pm 0$、つまり式の値が変わらないようにする。

$a_{n}=\displaystyle \frac{3^{n}-1+1-1}{3^{n}+1}$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3^{n}+1-2}{3^{n}+1}$
右辺をふたつの分数に分けて、
$a_{n}=\displaystyle \frac{3^{n}+1}{3^{n}+1}-\frac{2}{3^{n}+1}$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =1-\frac{2}{3^{n}+1}$式Ｊ
である。

解答ケ：１, コ：２, サ：３, シ：２

式Ｈより、$c_{n}=3^{n}$なので、
$c_{k}c_{k+1}=3^{k}3^{k+1}$

途中式

         $=3^{2k+1}$
         $=3\cdot(3^{2})^{k}$

         $=3\cdot 9^{k}$
である。
よって、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c_{k}c_{k+1}=\sum_{k=1}^{n}3\cdot 9^{k}$

途中式

              $=3\displaystyle \sum_{k=1}^{n}9^{k}$
              $=3\displaystyle \cdot\frac{9(1-9^{n})}{1-9}$
              $=\displaystyle \frac{27(1-9^{n})}{-8}$

              $=\displaystyle \frac{27}{8}(9^{n}-1)$
となる。

解答ス：２, セ：７, ソ：８, タ：９

式①より、
$a_{n}a_{n+1}=a_{n}\displaystyle \cdot\frac{2a_{n}+1}{a_{n}+2}$
$a_{n}a_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2a_{n}^{2}+a_{n}}{a_{n}+2}$式Ｋ
となるけど、これを、問題文の
$a_{n}a_{n+1}=$チ$(a_{n}-a_{n+1})$$+$ツ式Ｌ
の右辺の形に変形するなんてムリ。
なので、式Ｌの方を変形してチツを求めよう。

式Ｌの赤い部分は、式①より
$a_{n}-a_{n+1}=a_{n}-\displaystyle \frac{2a_{n}+1}{a_{n}+2}$
$a_{n}-a_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a_{n}(a_{n}+2)}{a_{n}+2}-\frac{2a_{n}+1}{a_{n}+2}$
$a_{n}-a_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a_{n}^{2}-1}{a_{n}+2}$
となる。

これと式Ｋを式Ｌに代入して、
$\displaystyle \frac{2a_{n}^{2}+a_{n}}{a_{n}+2}=$チ$\displaystyle \cdot\frac{a_{n}^{2}-1}{a_{n}+2}+$ツ
両辺に$a_{n}+2$をかけて、
$2a_{n}^{2}+a_{n}=$チ$(a_{n}^{2}-1)+$ツ$(a_{n}+2)$
$2a_{n}^{2}+a_{n}$$=$チ$a_{n}^{2}+$ツ$a_{n}-$チ$+2$ツ
という式ができる。

この式の左辺と右辺は等しいので、$a_{n}^{2}$の係数，$a_{n}$の係数，定数項はそれぞれ等しい。
よって、

	$2=$チ
	$1=$ツ
	$0=-$チ$+2$ツ

である。

解答チ：２, ツ：１

以上より、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}a_{k+1}=\sum_{k=1}^{n}\{2(a_{k}-a_{k+1})+1\}$
              $=2\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})+\sum_{k=1}^{n}1$
              $=2$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})$$+n$式Ｍ
とかける。

ここで、式Ｍの赤い部分をΣを使わずに書くと、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=(a_{1}$$-a_{2}$$)+($$a_{2}$$-a_{3}$$)+($$a_{3}$$\cdots$
                 $\cdots$$-a_{n-1}$$)+($$a_{n-1}$$-a_{n}$$)+($$a_{n}$$-a_{n+1})$
となる。右辺の同じ色の部分はセットで消えるので、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=a_{1}-a_{n+1}$
とかける。
よって、式Ｍは
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}a_{k+1}=2(a_{1}-a_{n+1})+n$
と表せる。

これに、式①の$a_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}$と、式Ｊを
$a_{n+1}=1-\displaystyle \frac{2}{3^{n+1}+1}$
と変形したものを代入して、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}a_{k+1}=2\left\{\frac{1}{2}-\left(1-\frac{2}{3^{n+1}+1}\right)\right\}+n$
              $=1-2+\displaystyle \frac{4}{3^{n+1}+1}+n$
              $=n-1+\displaystyle \frac{4}{3^{n+1}+1}$
である。

解答テ：１, ト：４, ナ：３, ニ：１