式①に$s=4$を代入すると、
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n+4}{a_n+2}}$
$a_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2(a_n+2)}{a_n+2}}$
$a_{n+1}$$=2$
となる。

よって、数列$\{a_n\}$は、
初項$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$ $2$項目以降は、全部$2$ なので、
$a_2=2$
$a_{100}=2$
である。

解答ア：２, イ：２

$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$
なので、
$b_1={\displaystyle \frac{1}{a_1}}$
$b_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1}{\frac{1}{2}}}$
$b_1$$=2$
である。

解答ウ：２

式①に$s=0$を代入すると、
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n}{a_n+2}}$式Ａ
となる。
この先どうしようか一瞬悩むけど、
$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$
とおくので、とにかく分母が$a_n$や$a_{n+1}$の分数をつくろう。

言うまでもないかも知れないけれど、
$b_n={\displaystyle \frac{1}{a_n}}$式Ｂ1
ならば
$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}$式Ｂ2
である。

式Ａの両辺の逆数をとって、
${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+2}{2a_n}}$
${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}$${\displaystyle =\frac{a_n}{2a_n}+\frac{2}{2a_n}}$
${\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{a_n}}$
これに式Ｂ1，式Ｂ2を代入して、
$b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}+b_n}$
$b_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =b_n+\frac{1}{2}}$
となる。

解答エ：１, オ：２

$c_n={\displaystyle \frac{1+a_n}{1-a_n}}$式Ｃ
なので、
$c_1={\displaystyle \frac{1+a_1}{1-a_1}}$
$c_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}$
$b_1{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2+1}{2-1}}$
$b_1$$=3$
である。

解答ク：３

式①に$s=1$を代入すると、
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n+1}{a_n+2}}$式Ｄ
となる。

またこの先どうしようか悩むけど、材料は
$c_n={\displaystyle \frac{1+a_n}{1-a_n}}$式Ｃ と
$a_{n+1}={\displaystyle \frac{2a_n+1}{a_n+2}}$式Ｄ の２つしかない。
この２つの式を使って、$c_{n+1}$と$c_n$だけの式をつくるわけだ。

とりあえずは代入を考える。で、作りやすい部分だけ作って、あとはできた式を見ながら考えよう。
まず、$c_{n+1}$を作る。
式Ｃより、
$c_{n+1}={\displaystyle \frac{1+a_{n+1}}{1-a_{n+1}}}$式Ｃ'
である。これに式Ｄを代入すると、$c_{n+1}$を式$a_n$で表せる。

式Ｃ'に式Ｄを代入して、
$c_{n+1}={\displaystyle \frac{1+\frac{2a_n+1}{a_n+2}}{1-\frac{2a_n+1}{a_n+2}}}$
複分数は面倒なので、何とかしよう。

右辺の分母分子に$a_n+2$をかけて、
$c_{n+1}={\displaystyle \frac{(a_n+2)+(2a_n+1)}{(a_n+2)-(2a_n+1)}}$
$c_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3a_n+3}{1-a_n}}$
$c_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3(a_n+1)}{1-a_n}}$
$c_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =3\cdot \frac{1+a_n}{1-a_n}}$
となって、右辺に式Ｃと同じ形ができた。

これに式Ｃを代入して、
$c_{n+1}=3c_n$式Ｅ
となる。

式Ｅは復習の２番目のパターンなので、$\{c_n\}$は
クより、初項$c_1=3$ 公比が$3$ の等比数列である。

等比数列の一般項の式より、
$c_n=3\cdot 3^{n-1}$
$c_n$$=3^n$式Ｈ
となる。
あとは、$\{c_n\}$の一般項を$\{a_n\}$の一般項に変換すればOKだ。
$\{c_n\}$と$\{a_n\}$の関係式は式Ｃなので、これを使う。

式Ｃに式Ｈを代入して、
$3^n={\displaystyle \frac{1+a_n}{1-a_n}}$
$(1-a_n)3^n=1+a_n$

途中式

$3^n-3^n{a}_n=1+a_n$
$3^n{a}_n+a_n=3^n-1$
$(3^n+1)a_n=3^n-1$

$a_n={\displaystyle \frac{3^n-1}{3^n+1}}$式Ｉ
となる。
式Ｅを別解の方法で求めた場合は、式Ｆ1に式Ｈを代入すれば、すぐに式Ｉができる。

だけど、これじゃ問題文のマスに合わない。
なので、もう少し計算だ。
式Ｉの右辺の分子に$1$をたして引いて、

詳しく

分子が$3^n+1$だったら、約分して
${\displaystyle \frac{3^n+1}{3^n+1}=1}$
とできる。
なので、分子に
$3^n+1$
を作りたい。

$3^n$はすでに存在するけど、$+1$がない。
なので、$+1$を作ろう。
でも、単に$+1$を書き加えると、式の値が変わっちゃう。
なので、$1$をたして$1$を引いて、$\pm 0$、つまり式の値が変わらないようにする。

$a_n={\displaystyle \frac{3^n-1+1-1}{3^n+1}}$
$a_n{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{3^n+1-2}{3^n+1}}$
右辺をふたつの分数に分けて、
$a_n={\displaystyle \frac{3^n+1}{3^n+1}-\frac{2}{3^n+1}}$
$a_n{\displaystyle }$${\displaystyle =1-\frac{2}{3^n+1}}$式Ｊ
である。

解答ケ：１, コ：２, サ：３, シ：２

式Ｈより、$c_n=3^n$なので、
$c_k{c}_{k+1}=3^k{3}^{k+1}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{c_k{c}_{k+1}}& =3^{2k+1}\\ & =3\cdot (3^2{)}^k\end{array}$$

$\phantom{c_k{c}_{k+1}}=3\cdot 9^k$
である。
よって、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{c}_k{c}_{k+1}=\sum _{k=1}^{n}3\cdot 9^k}$

途中式

$$\begin{array}{rl}\phantom{\sum _{k=1}^n{c}_k{c}_{k+1}}& =3\sum _{k=1}^n{9}^k\\ & =3\cdot \frac{9(1-9^n)}{1-9}\\ & =\frac{27(1-9^n)}{-8}\end{array}$$

${\displaystyle \phantom{\sum _{k=1}^n{c}_k{c}_{k+1}}=\frac{27}{8}(9^n-1)}$
となる。

解答ス：２, セ：７, ソ：８, タ：９

式①より、
$a_n{a}_{n+1}=a_n{\displaystyle \cdot \frac{2a_n+1}{a_n+2}}$
$a_n{a}_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{2a_n^2+a_n}{a_n+2}}$式Ｋ
となるけど、これを、問題文の
$a_n{a}_{n+1}=$チ$(a_n-a_{n+1})$$+$ツ式Ｌ
の右辺の形に変形するなんてムリ。
なので、式Ｌの方を変形してチツを求めよう。

式Ｌの赤い部分は、式①より
$a_n-a_{n+1}=a_n-{\displaystyle \frac{2a_n+1}{a_n+2}}$
$a_n-a_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{a_n(a_n+2)}{a_n+2}-\frac{2a_n+1}{a_n+2}}$
$a_n-a_{n+1}{\displaystyle }$${\displaystyle =\frac{a_n^2-1}{a_n+2}}$
となる。

これと式Ｋを式Ｌに代入して、
${\displaystyle \frac{2a_n^2+a_n}{a_n+2}=}$チ${\displaystyle \cdot \frac{a_n^2-1}{a_n+2}+}$ツ
両辺に$a_n+2$をかけて、
$2a_n^2+a_n=$チ$(a_n^2-1)+$ツ$(a_n+2)$
$2a_n^2+a_n$$=$チ$a_n^2+$ツ$a_n-$チ$+2$ツ
という式ができる。

この式の左辺と右辺は等しいので、$a_n^2$の係数，$a_n$の係数，定数項はそれぞれ等しい。
よって、
$2=$チ $1=$ツ $0=-$チ$+2$ツ である。

解答チ：２, ツ：１

以上より、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k{a}_{k+1}=\sum _{k=1}^n\{2(a_k-a_{k+1})+1\}}$
              $=2{\displaystyle \sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1})+\sum _{k=1}^{n}1}$
              $=2$${\displaystyle \sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1})}$$+n$式Ｍ
とかける。

ここで、式Ｍの赤い部分をΣを使わずに書くと、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1})=(a_1}$$-a_2$$)+($$a_2$$-a_3$$)+($$a_3$$\cdots$
                 $\cdots$$-a_{n-1}$$)+($$a_{n-1}$$-a_n$$)+($$a_n$$-a_{n+1})$
となる。右辺の同じ色の部分はセットで消えるので、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n(a_k-a_{k+1})=a_1-a_{n+1}}$
とかける。
よって、式Ｍは
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k{a}_{k+1}=2(a_1-a_{n+1})+n}$
と表せる。

これに、式①の$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$と、式Ｊを
$a_{n+1}=1-{\displaystyle \frac{2}{3^{n+1}+1}}$
と変形したものを代入して、
${\displaystyle \sum _{k=1}^n{a}_k{a}_{k+1}=2\{\frac{1}{2}-(1-\frac{2}{3^{n+1}+1})\}+n}$
              $=1-2+{\displaystyle \frac{4}{3^{n+1}+1}+n}$
              $=n-1+{\displaystyle \frac{4}{3^{n+1}+1}}$
である。

解答テ：１, ト：４, ナ：３, ニ：１